Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Рассмотрим заданный интеграл:
\[ \int_0^{\frac{2\pi}{3}} \sin\left(-\frac{3}{4}x\right) dx. \]
Задача — решить его, применяя метод подведения под знак дифференциала.
Пусть:
\[ u = -\frac{3}{4}x \quad \text{(подводим выражение под знак дифференциала)}. \]
Тогда, найдём дифференциал \( du \):
\[ du = -\frac{3}{4}dx \quad \Rightarrow \quad dx = -\frac{4}{3}du. \]
Теперь нужно пересчитать пределы интегрирования. Если \( x = 0 \), то:
\[ u = -\frac{3}{4} \cdot 0 = 0. \]
Если \( x = \frac{2\pi}{3} \), то:
\[ u = -\frac{3}{4} \cdot \frac{2\pi}{3} = -\frac{2\pi}{4} = -\frac{\pi}{2}. \]
Подставляем замены \( u \) и \( dx \) в интеграл:
\[ \int_0^{\frac{2\pi}{3}} \sin\left(-\frac{3}{4}x\right) dx = \int_{0}^{-\frac{\pi}{2}} \sin(u) \cdot \left(-\frac{4}{3}\right) du. \]
Вынесем постоянный множитель \(-\frac{4}{3}\) за знак интеграла:
\[ \int_{0}^{-\frac{\pi}{2}} \sin(u) \cdot \left(-\frac{4}{3}\right) du = -\frac{4}{3} \int_{0}^{-\frac{\pi}{2}} \sin(u) \, du. \]
Изменим порядок пределов интегрирования (меняем знаки у пределов и меняем знак перед интегралом):
\[ -\frac{4}{3} \int_{0}^{-\frac{\pi}{2}} \sin(u) \, du = \frac{4}{3} \int_{-\frac{\pi}{2}}^0 \sin(u) \, du. \]
Известно, что:
\[ \int \sin(u) \, du = -\cos(u) + C. \]
Применяем это к определённому интегралу:
\[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^0 \sin(u) \, du = \left[-\cos(u)\right]_{-\frac{\pi}{2}}^0. \]
Вычислим значения на границах:
\[ \left[-\cos(u)\right]_{-\frac{\pi}{2}}^0 = -\cos(0) - \left(-\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right). \]
Из тригонометрии известно, что \(\cos(0) = 1\) и \(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0\). Тогда:
\[ -\cos(0) - \left(-\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) = -1 - (-0) = -1. \]
Подставляем результат обратно в выражение:
\[ \frac{4}{3} \int_{-\frac{\pi}{2}}^0 \sin(u) \, du = \frac{4}{3} \cdot (-1) = -\frac{4}{3}. \]
\[\int_0^{\frac{2\pi}{3}} \sin\left(-\frac{3}{4}x\right) dx = -\frac{4}{3}.\]