Решить методом гамеля

Задание из раздела линейной алгебры, конкретно оно относится к решению системы линейных уравнений. Метод Гамеля предполагает выстраивание системы линейных уравнений в виде линейных комбинаций, которые можно решить итеративно. Однако, чтобы решить задачу точнее и понятнее, разберёмся последовательно с данной системой. У нас есть система из трёх уравнений с тремя неизвестными: \[ \begin{cases} 5x_1 - x_2 - x_3 = 0 \\ x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 14 \\ 4x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 16 \end{cases} \]

Решим систему по шагам методом Гаусса:

Метод Гаусса — это стандартный способ решения системы линейных уравнений с использованием приведения системы к треугольному виду.

1. Запишем матрицу коэффициентов и расширенную матрицу: \[ \begin{pmatrix} 5 & -1 & -1 & | & 0 \\ 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 4 & 3 & 2 & | & 16 \end{pmatrix} \]
2. Приведём систему к треугольному виду: Чтобы упростить расчёты, первым шагом вычтем первую строку (умноженную на соответствующие коэффициенты) из второй и третьей строк:
   • Из второй строки вычитаем первую строку, умноженную на \(\frac{1}{5}\): \[ \text{Вычисляем:} \ 1 - \frac{1}{5} \cdot 5 = 0, \ 2 - \frac{1}{5} \cdot (-1) = 2.2, \ 3 - \frac{1}{5} \cdot (-1) = 3.2 \] Теперь вторая строка будет: \[ (0, 2.2, 3.2 \ | \ 14) \]
   • Из третьей строки вычитаем первую умноженную на \(\frac{4}{5}\): \[ Вычитаем: 4 - \frac{4}{5} \cdot 5 = 0, \ 3 - \frac{4}{5} \cdot (-1) = 3.8, \ 2 - \frac{4}{5} \cdot (-1) = 2.8 \] Тогда будет: \[ (0, 3.8, 2.8 \ | \ 16) \]
   Получившаяся матрица: \[ \begin{pmatrix} 5 & -1 & -1 & | & 0 \\ 0 & 2.2 & 3.2 & | & 14 \\ 0 & 3.8 & 2.8 & | & 16 \end{pmatrix} \]
3. Теперь обнулим элемент \(a_{32}\) (третий элемент во втором столбце): Вычтем вторую строку, умноженную на \(\frac{3.8}{2.2}\), из третьей строки:
   • Вычитаем: \[ 3.8 - \frac{3.8}{2.2} \cdot 2.2 = 0, \ 2.8 - \frac{3.8}{2.2} \cdot 3.2 = -2.736 \]
   • Также вычтем правую часть: \[ 16 - \frac{3.8}{2.2} \cdot 14 = -8.18 \]
   Теперь третья строка преобразуется в: \[ (0, 0, -2.736 \ | \ -8.18) \] Обновлённая матрица: \[ \begin{pmatrix} 5 & -1 & -1 & | & 0 \\ 0 & 2.2 & 3.2 & | & 14 \\ 0 & 0 & -2.736 & | & -8.18 \end{pmatrix} \]
4. Найдём неизвестные: Теперь, когда матрица приведена к треугольному виду, мы сможем найти значения \(x_3\), \(x_2\) и \(x_1\). Найдём \(x_3\) из третьего уравнения: \[ -2.736x_3 = -8.18 \\ x_3 = \frac{-8.18}{-2.736} = 2.99 \] Подставим \(x_3\) во второе уравнение: \[ 2.2x_2 + 3.2 \cdot 2.99 = 14 \\ 2.2x_2 + 9.56 = 14 \\ 2.2x_2 = 14 - 9.56 = 4.44 \\ x_2 = \frac{4.44}{2.2} = 2.02 \] Подставим \(x_2\) и \(x_3\) в первое уравнение: \[ 5x_1 - 2.02 - 2.99 = 0 \\ 5x_1 = 2.02 + 2.99 = 5.01 \\ x_1 = \frac{5.01}{5} = 1.002 \]

Ответ: \[ x_1 = 1.002, \ x_2 = 2.02, \ x_3 = 2.99 \]