Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка

Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. В общем виде такое уравнение имеет вид: \( y' + p(x)y = q(x) \), где \( p(x) \) и \( q(x) \) - функции от \( x \). В нашем случае уравнение записано как: \( y' - y \cos x = \sin 2x \). Мы можем переписать его в стандартной форме: \( y' + (-\cos x)y = \sin 2x \). Теперь наша задача - найти общее решение этого уравнения. Для этого используем метод интегрирующего множителя.

Шаг 1: Находим интегрирующий множитель

Интегрирующий множитель \(\mu(x)\) определяется следующим образом: \( \mu(x) = e^{\int p(x) \, dx} \), где \( p(x) = -\cos x \). Найдем эту функцию: \( \mu(x) = e^{\int -\cos x \, dx} = e^{-\sin x} \).

Шаг 2: Умножим уравнение на интегрирующий множитель

Теперь умножим все уравнение на \(\mu(x)\): \( e^{-\sin x}y' + e^{-\sin x}(-\cos x)y = e^{-\sin x} \sin 2x \). Можно заметить, что левая часть уравнения теперь является производной произведения функции \( y \) и интегрирующего множителя: \( \frac{d}{dx} \left( e^{-\sin x}y \right) = e^{-\sin x} \sin 2x \).

Шаг 3: Интегрируем обе части уравнения

Интегрируем обе части уравнения относительно \( x \): \( \int \frac{d}{dx} \left( e^{-\sin x} y \right) \, dx = \int e^{-\sin x} \sin 2x \, dx \). Слева получаем: \( e^{-\sin x} y = \int e^{-\sin x} \sin 2x \, dx \).

Шаг 4: Решаем интеграл справа

Рассмотрим интеграл \( \int e^{-\sin x} \sin 2x \, dx \). Этот интеграл достаточно сложный, и в этом случае стоит воспользоваться вариацияей подстановок или численных методов. Для аналитического решения берем простой вариант с использованием подстановок и табличного интегрирования:

Используем подстановку \( u = \sin x \), тогда \( du = \cos x \, dx \). \[ \int e^{-u} \sin 2x \frac{du}{\cos x} \]. Приведем \( \sin 2x \) к \( 2 \sin x \cos x \): \[ \Rightarrow 2 \int e^{-u} \sin x \cos x \frac{du}{\cos x} = 2 \int e^{-u} \sin x du \]. Теперь обратно \( u = \sin x \): \[ = 2 \int e^{-u} u du = - \sin^2 x + C \]. Тогда: \( y e^{-\sin x} = - \sin^2 x + C \rightarrow y = - \sin^2 x e^{\sin x} + C e^{\sin x} \).

Таким образом решением уравнения будет: \( y(x) = C e^{\sin x} - \sin^2 x e^{\sin x} \).