Решить интеграла методом интегрирования по частям

Это задание по предмету "Математика", раздел "Интегралы".

Рассмотрим интеграл: \[ \int_{-1}^{1} x \cdot \arctan(x) \, dx \] Для решения этого интеграла будем использовать метод интегрирования по частям. Напомним формулу интегрирования по частям: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] В нашем случае, зададим: \( u = \arctan(x) \) и \( dv = x \, dx \).

Теперь найдем производные и интегралы данных функций: \[ du = \frac{d}{dx}[\arctan(x)] \, dx = \frac{1}{1+x^2} \, dx \] \[ v = \int x \, dx = \frac{x^2}{2} \] Теперь можем использовать метод интегрирования по частям: \[ \int_{-1}^{1} x \cdot \arctan(x) \, dx = \left. \arctan(x) \cdot \frac{x^2}{2} \right|_{-1}^{1} - \int_{-1}^{1} \frac{x^2}{2 \cdot (1 + x^2)} \, dx \]

Рассчитаем первый член: \[ \left. \arctan(x) \cdot \frac{x^2}{2} \right|_{-1}^{1} = \arctan(1) \cdot \frac{1^2}{2} - \arctan(-1) \cdot \frac{(-1)^2}{2} \] \[ = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{1}{2} - \left( -\frac{\pi}{4} \cdot \frac{1}{2} \right) \] \[ = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{4} \]

Теперь второй член: Рассмотрим интеграл: \[ \int_{-1}^{1} \frac{x^2}{2 \cdot (1 + x^2)} \, dx = \int_{-1}^{1} \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{1 + x^2} \, dx \] Упростим интеграл: \[ \int_{-1}^{1} \frac{x^2}{2(1 + x^2)} \, dx = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} \frac{x^2}{1 + x^2} \, dx \] Заметим, что \(\frac{x^2}{1 + x^2}\) является чётной функцией, поэтому интеграл на симметричном интервале равен нулю. Таким образом: \[ \int_{-1}^{1} \frac{x^2}{2 (1 + x^2)} \, dx = 0 \]

Итак, результат: \[ \int_{-1}^{1} x \cdot \arctan(x) \, dx = \frac{\pi}{4} \] Ответ: \( \frac{\pi}{4} \)