Решить интеграла методом интегрирования по частям

Это задание по предмету "Математика", раздел "Интегралы".

Рассмотрим интеграл: $\text{[}{\int }_{-1}^{1}x\cdot \arctan (x)dx\text{]}$ Для решения этого интеграла будем использовать метод интегрирования по частям. Напомним формулу интегрирования по частям: $\text{[}\int udv=uv-\int vdu\text{]}$ В нашем случае, зададим: $\text{(}u=\arctan (x)\text{)}$ и $\text{(}dv=xdx\text{)}$.

Теперь найдем производные и интегралы данных функций: $\text{[}du=\frac{d}{dx}[\arctan (x)]dx=\frac{1}{1+x^2}dx\text{]}$ $\text{[}v=\int xdx=\frac{x^2}{2}\text{]}$ Теперь можем использовать метод интегрирования по частям: $\text{[}{\int }_{-1}^{1}x\cdot \arctan (x)dx={\arctan (x)\cdot \frac{x^2}{2}|}_{-1}^1-{\int }_{-1}^1\frac{x^2}{2\cdot (1+x^2)}dx\text{]}$

Рассчитаем первый член: $\text{[}{\arctan (x)\cdot \frac{x^2}{2}|}_{-1}^1=\arctan (1)\cdot \frac{1^2}{2}-\arctan (-1)\cdot \frac{(-1{)}^2}{2}\text{]}$ $\text{[}=\frac{\pi }{4}\cdot \frac{1}{2}-(-\frac{\pi }{4}\cdot \frac{1}{2})\text{]}$ $\text{[}=\frac{\pi }{8}+\frac{\pi }{8}=\frac{\pi }{4}\text{]}$

Теперь второй член: Рассмотрим интеграл: $\text{[}{\int }_{-1}^1\frac{x^2}{2\cdot (1+x^2)}dx={\int }_{-1}^1\frac{1}{2}\cdot \frac{x^2}{1+x^2}dx\text{]}$ Упростим интеграл: $\text{[}{\int }_{-1}^1\frac{x^2}{2(1+x^2)}dx=\frac{1}{2}{\int }_{-1}^1\frac{x^2}{1+x^2}dx\text{]}$ Заметим, что $\text{(}\frac{x^2}{1+x^2}\text{)}$ является чётной функцией, поэтому интеграл на симметричном интервале равен нулю. Таким образом: $\text{[}{\int }_{-1}^1\frac{x^2}{2(1+x^2)}dx=0\text{]}$

Итак, результат: $\text{[}{\int }_{-1}^{1}x\cdot \arctan (x)dx=\frac{\pi }{4}\text{]}$ Ответ: $\text{(}\frac{\pi }{4}\text{)}$