Решить интеграла методом интегрирования по частям

Условие:

решить интеграл

Условие: решить интеграл

Решение:

Это задание по предмету "Математика", раздел "Интегралы".

Рассмотрим интеграл: \[11xarctan(x)dx\] Для решения этого интеграла будем использовать метод интегрирования по частям. Напомним формулу интегрирования по частям: \[udv=uvvdu\] В нашем случае, зададим: \(u=arctan(x)\) и \(dv=xdx\).

Теперь найдем производные и интегралы данных функций: \[du=ddx[arctan(x)]dx=11+x2dx\] \[v=xdx=x22\] Теперь можем использовать метод интегрирования по частям: \[11xarctan(x)dx=arctan(x)x22|1111x22(1+x2)dx\]

Рассчитаем первый член: \[arctan(x)x22|11=arctan(1)122arctan(1)(1)22\] \[=π412(π412)\] \[=π8+π8=π4\]

Теперь второй член: Рассмотрим интеграл: \[11x22(1+x2)dx=1112x21+x2dx\] Упростим интеграл: \[11x22(1+x2)dx=1211x21+x2dx\] Заметим, что \(x21+x2\) является чётной функцией, поэтому интеграл на симметричном интервале равен нулю. Таким образом: \[11x22(1+x2)dx=0\]

Итак, результат: \[11xarctan(x)dx=π4\] Ответ: \(π4\)

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Узнайте стоимость работы онлайн

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн
Напишем БЕСПЛАТНО любую работу за 30 минут