Решить интеграл со всеми вычислениями

Предмет: Математика

Раздел: Интегральное исчисление

Рассмотрим интеграл:
\int \frac{dx}{x(x^2+1)}

Разложение на простейшие дроби

Представим дробь в виде суммы двух дробей:
\frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^2+1}

Домножим обе части на знаменатель x(x^2+1):
1 = A(x^2+1) + (Bx + C)x

Раскроем скобки:
1 = A x^2 + A + Bx^2 x + Cx
1 = A x^2 + A + B x^3 + Cx

Сгруппируем члены по степеням x:
1 = Bx^3 + A x^2 + Cx + A

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x:

1. B = 0 (коэффициент при x^3)
2. A = 0 (коэффициент при x^2)
3. Cx: C = 1
4. Свободный член: A = 1

Таким образом, A = 1, B = 0, C = 1, и разложение принимает вид:
\frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{1}{x} + \frac{x}{x^2+1}

Интегрирование

Рассмотрим интеграл:
\int \frac{dx}{x} + \int \frac{x dx}{x^2+1}

1. \int \frac{dx}{x} = \ln|x|
2. \int \frac{x dx}{x^2+1}
   Подстановка t = x^2+1, тогда dt = 2x dx,
   следовательно, \frac{1}{2} \int \frac{dt}{t} = \frac{1}{2} \ln|x^2+1|

Таким образом, общий ответ:
\ln|x| + \frac{1}{2} \ln|x^2+1| + C

Ответ:

\int \frac{dx}{x(x^2+1)} = \ln|x| + \frac{1}{2} \ln|x^2+1| + C