Решить интеграл полностью

Определение предмета и раздела:

Предмет: Математика
Раздел: Интегральное исчисление

Решение интеграла:

Дан определённый интеграл:

 I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{2\cos x + 3} 

1. Замена переменной:

Введём замену:

 t = \tan \frac{x}{2}, \quad dx = \frac{2 dt}{1 + t^2}, \quad \cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2} 

Тогда знаменатель преобразуется:

 2\cos x + 3 = 2 \cdot \frac{1 - t^2}{1 + t^2} + 3 = \frac{2 - 2t^2 + 3 + 3t^2}{1 + t^2} = \frac{5 - t^2}{1 + t^2} 

Теперь выразим интеграл в терминах ( t ):

 I = \int \frac{\frac{2 dt}{1 + t^2}}{\frac{5 - t^2}{1 + t^2}} = \int \frac{2 dt}{5 - t^2} 

2. Разложение знаменателя:

Перепишем:

 I = 2 \int \frac{dt}{5 - t^2} 

Используем стандартную формулу:

 \int \frac{dx}{a^2 - x^2} = \frac{1}{2a} \ln \left| \frac{a + x}{a - x} \right| + C 

Здесь ( a^2 = 5 ), следовательно, ( a = \sqrt{5} ):

 I = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{5}} \ln \left| \frac{\sqrt{5} + t}{\sqrt{5} - t} \right| = \frac{1}{\sqrt{5}} \ln \left| \frac{\sqrt{5} + t}{\sqrt{5} - t} \right| 

3. Подстановка пределов:

Так как ( t = \tan \frac{x}{2} ), подставим пределы:

• При ( x = 0 ): ( t = \tan 0 = 0 )
• При ( x = \frac{\pi}{2} ): ( t = \tan \frac{\pi}{4} = 1 )

Тогда:

 I = \frac{1}{\sqrt{5}} \ln \left| \frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} - 1} \right| - \frac{1}{\sqrt{5}} \ln \left| \frac{\sqrt{5} + 0}{\sqrt{5} - 0} \right| 

 I = \frac{1}{\sqrt{5}} \ln \left( \frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} - 1} \right) - \frac{1}{\sqrt{5}} \ln (\sqrt{5}) 

Используем свойство логарифма:

 I = \frac{1}{\sqrt{5}} \ln \left( \frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} - 1} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \right) 

4. Итоговый ответ:

 I = \frac{1}{\sqrt{5}} \ln \left( \frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} - 1} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \right)