Решить интеграл подробно

Предмет: Математика

Раздел: Интегральное исчисление

Рассмотрим данный интеграл:

 I = \int \frac{\tan\left(\sqrt[3]{x} + 1\right)}{\sqrt[3]{x^2}} \,dx 

Шаг 1: Замена переменной

Введем новую переменную:

 t = \sqrt[3]{x} \Rightarrow x = t^3, \quad dx = 3t^2 dt 

Тогда выражения в интеграле примут вид:

 \sqrt[3]{x} = t, \quad \sqrt[3]{x^2} = t^2 

Подставляя в интеграл, получаем:

 I = \int \frac{\tan(t + 1)}{t^2} \cdot 3t^2 dt 

Шаг 2: Упрощение

Сокращаем t^2:

 I = 3 \int \tan(t + 1) \, dt 

Шаг 3: Интегрирование

Интеграл от тангенса:

 \int \tan u \, du = \ln |\sec u| + C 

Применяя это, получаем:

 I = 3 \ln |\sec(t + 1)| + C 

Шаг 4: Возвращение к переменной x

Так как t = \sqrt[3]{x}, имеем:

 I = 3 \ln |\sec(\sqrt[3]{x} + 1)| + C 

Ответ:

 I = 3 \ln |\sec(\sqrt[3]{x} + 1)| + C