Решить интеграл по формуле интегрирования по частям

Предмет: Математика
Раздел: Интегральное исчисление

Рассмотрим интеграл:

\int 4x^3 e^{x^4+2} \, dx.

Для решения воспользуемся формулой интегрирования по частям:

\int u \, dv = uv - \int v \, du.

Шаг 1. Замена переменной

Удобнее всего в данном случае выполнить замену переменной:

t = x^4 + 2, \quad \frac{dt}{dx} = 4x^3, \quad dx = \frac{dt}{4x^3}.

Тогда исходный интеграл перепишется следующим образом:

\int 4x^3 e^{x^4+2} \, dx = \int e^t \, dt.

Шаг 2. Интегрирование

Интеграл \int e^t \, dt берется напрямую:

\int e^t \, dt = e^t + C.

Шаг 3. Возвращение к исходной переменной

Подставляем назад t = x^4 + 2:

e^t = e^{x^4+2}.

Таким образом, результат:

\int 4x^3 e^{x^4+2} \, dx = e^{x^4+2} + C.

Ответ:

e^{x^4+2} + C.