Решить интеграл отрезок AB прямой проходящей через точки

Предмет: Математика

Раздел: Аналитическая геометрия, интегральное исчисление

Нам предоставлено задание, связанное с вычислением криволинейного интеграла по длине дуги (интеграл по отрезку кривой).

Прямая проходит через точки \(A(0, 0)\) и \(B(1, 2)\), и требуется вычислить следующий интеграл:

\[ \int_L \frac{ds}{\sqrt{x^2 + y^2 + 4}} \]

Шаг 1: Уравнение прямой

Прямая проходит через точки \(A(0, 0)\) и \(B(1, 2)\). Уравнение прямой можно найти, используя уравнение в параметрической форме:

\[ y = kx + b \]

Где \(k\) — это наклон прямой (угловой коэффициент). \(k\) можно найти как отношение разности ординат к разности абсцисс:

\[ k = \frac{2 - 0}{1 - 0} = 2 \]

Подставляем в уравнение:

\[ y = 2x \]

Таким образом, уравнение прямой: \(y = 2x\).

Шаг 2: Выражаем дифференциал дуги

Элемент дуги \( ds \) для прямой можно выразить через дифференциалы \(dx\) и \(dy\) с помощью следующей формулы:

\[ ds = \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} \]

Дифференцируем уравнение прямой \(y = 2x\):

\[ dy = 2dx \]

Тогда:

\[ ds = \sqrt{(dx)^2 + (2dx)^2} = \sqrt{1 + 4}dx = \sqrt{5} \, dx \]

Шаг 3: Подставляем и решаем интеграл

Теперь мы можем переписать наш исходный интеграл с учётом того, что \(ds = \sqrt{5} \, dx\):

\[ \int_0^1 \frac{\sqrt{5} \, dx}{\sqrt{x^2 + (2x)^2 + 4}} = \sqrt{5} \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 4x^2 + 4}} = \sqrt{5} \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{5x^2 + 4}} \]

Шаг 4: Замена переменной

Введём замену:

\[ u = 5x^2 + 4 \quad \Rightarrow \quad du = 10x \, dx \]

Границы интегрирования при \(x = 0\), \(u = 4\), при \(x = 1\), \(u = 9\). Тогда интеграл принимает вид:

\[ \sqrt{5} \int_4^9 \frac{du}{2\sqrt{u}} = \sqrt{5} \left[ \sqrt{u} \right]_4^9 = \sqrt{5} \left( \sqrt{9} - \sqrt{4} \right) = \sqrt{5} (3 - 2) = \sqrt{5} \]

Ответ:

Результат интеграла: \(\sqrt{5}\).