Решить интеграл отрезок AB прямой проходящей через точки

Главная
Высшая математика
Интегралы
Решить интеграл отрезок AB прямой проходящей через точки

Предмет: Математика

Раздел: Аналитическая геометрия, интегральное исчисление

Нам предоставлено задание, связанное с вычислением криволинейного интеграла по длине дуги (интеграл по отрезку кривой).

Прямая проходит через точки $$A (0, 0) $$ и $$B (1, 2) $$ , и требуется вычислить следующий интеграл:

$\[\int_{L} \frac{d s}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + 4}} \]$

Шаг 1: Уравнение прямой

Прямая проходит через точки $$A (0, 0) $$ и $$B (1, 2) $$ . Уравнение прямой можно найти, используя уравнение в параметрической форме:

$\[y = k x + b \]$

Где $$k $$ — это наклон прямой (угловой коэффициент). $$k $$ можно найти как отношение разности ординат к разности абсцисс:

$\[k = \frac{2 - 0}{1 - 0} = 2 \]$

Подставляем в уравнение:

$\[y = 2 x \]$

Таким образом, уравнение прямой: $$y = 2 x $$ .

Шаг 2: Выражаем дифференциал дуги

Элемент дуги $$d s $$ для прямой можно выразить через дифференциалы $$d x $$ и $$d y $$ с помощью следующей формулы:

$\[d s = \sqrt{(d x)^{2} + (d y)^{2}} \]$

Дифференцируем уравнение прямой $$y = 2 x $$ :

$\[d y = 2 d x \]$

Тогда:

$\[d s = \sqrt{(d x)^{2} + (2 d x)^{2}} = \sqrt{1 + 4} d x = \sqrt{5} d x \]$

Шаг 3: Подставляем и решаем интеграл

Теперь мы можем переписать наш исходный интеграл с учётом того, что $$d s = \sqrt{5} d x $$ :

$\[\int_{0}^{1} \frac{\sqrt{5} d x}{\sqrt{x^{2} + (2 x)^{2} + 4}} = \sqrt{5} \int_{0}^{1} \frac{d x}{\sqrt{x^{2} + 4 x^{2} + 4}} = \sqrt{5} \int_{0}^{1} \frac{d x}{\sqrt{5 x^{2} + 4}} \]$

Шаг 4: Замена переменной

Введём замену:

$\[u = 5 x^{2} + 4 \Rightarrow d u = 10 x d x \]$

Границы интегрирования при $$x = 0 $$ , $$u = 4 $$ , при $$x = 1 $$ , $$u = 9 $$ . Тогда интеграл принимает вид:

$\[\sqrt{5} \int_{4}^{9} \frac{d u}{2 \sqrt{u}} = \sqrt{5} {[\sqrt{u}]}_{4}^{9} = \sqrt{5} (\sqrt{9} - \sqrt{4}) = \sqrt{5} (3 - 2) = \sqrt{5} \]$

Ответ:

Результат интеграла: $$\sqrt{5} $$ .

Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

22423 авторов готовы помочь тебе.
2402 онлайн

Время — это деньги!