Решить интеграл дуга сектора круга

Задание, приведённое на изображении, относится к курсу математического анализа, а именно к курсу интегрального исчисления (интегралы в полярных координатах), также может быть связано с вычислением криволинейных интегралов.

Дано: требуется решить криволинейный интеграл вида: \[\int_L e^{\sqrt{x^2+y^2}} \, ds,\] где \(L\) — это дуга сектора круга, заданная следующими пределами: \[0 \leq \rho \leq 1 \quad \text{(радиус)}\] и \[0 \leq \varphi \leq \frac{\pi}{4} \quad \text{(угол)}.\]

Запись дуги сектора в полярных координатах:

• \(x = \rho \cos \varphi\),
• \(y = \rho \sin \varphi\),
• \(r = \sqrt{x^2 + y^2} = \rho\).

Интеграл преобразуется в полярные координаты, где модуль радиус-вектора \(r = \rho\), а элемент дуги кривой \(ds = \rho d\varphi\). Тогда исходный интеграл: \[\int_L e^{\sqrt{x^2 + y^2}} \, ds\] будет равен: \[\int_0^{\frac{\pi}{4}} e^{\rho} \rho \, d\varphi.\]

Решение:

Поскольку \(\rho\) — постоянная на дуге (эта величина меняется от 0 до 1, но нужно взять только её фиксированное значение на границе круга, т.е. \(\rho=1\), так как это связано с "дугой сектора"), интегрируем только по угловой переменной \(\varphi\):

\[\int_0^{\frac{\pi}{4}} e^{1} \cdot 1 \, d\varphi = e \int_0^{\frac{\pi}{4}} d\varphi.\]

Рассчитаем этот интеграл: \[e \cdot \left[\varphi\right]_0^{\frac{\pi}{4}} = e \cdot \frac{\pi}{4}.\]

Ответ:

Решение интеграла: \[\frac{e \pi}{4}.\]

В полярных координатах: