Решить интеграл

Это задание по математике, конкретно по разделу "Интегралы" или "Интегральное исчисление".

Пример заданного интеграла выглядит так: \[ \int \frac{2x^3 - \sqrt{5} + 8}{x^2} \, dx \]

Давайте решим этот интеграл по шагам.

Шаг 1: Разделение на отдельные слагаемые

Разделим выражение \(\frac{2x^3 - \sqrt{5} + 8}{x^2}\) на несколько простых дробей: \[ \int \left( \frac{2x^3}{x^2} - \frac{\sqrt{5}}{x^2} + \frac{8}{x^2} \right) dx \]

Шаг 2: Упрощение отдельных дробей

Преобразуем каждую дробь:

1. \(\frac{2x^3}{x^2} = 2x\)
2. \(\frac{\sqrt{5}}{x^2} = \sqrt{5} x^{-2}\)
3. \(\frac{8}{x^2} = 8x^{-2}\)

Теперь интеграл выглядит так: \[ \int \left( 2x - \sqrt{5}x^{-2} + 8x^{-2} \right) dx \]

Шаг 3: Интегрирование отдельных членов

Теперь надо каждый член проинтегрировать отдельно:

1. \(\int 2x \, dx = 2 \int x \, dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2\)
2. \(\int -\sqrt{5} x^{-2} \, dx = -\sqrt{5} \int x^{-2} \, dx = -\sqrt{5} \left( -\frac{x^{-1}}{1} \right) = \frac{\sqrt{5}}{x}\)
3. \(\int 8x^{-2} \, dx = 8 \int x^{-2} \, dx = 8 \left( -\frac{x^{-1}}{1} \right) = -\frac{8}{x}\)

Шаг 4: Собирание всех частей

Теперь соберем все проинтегрированные части вместе: \[ x^2 + \frac{\sqrt{5}}{x} - \frac{8}{x} + C \]

На этом интегрирование завершено. Ответ: \[ \int \frac{2x^3 - \sqrt{5} + 8}{x^2} \, dx = x^2 + \frac{\sqrt{5}}{x} - \frac{8}{x} + C \]