Решить и выполнить проверку дифференцированием

Этот пример относится к предмету "математика", а именно к разделу "интегральное исчисление" или "интегралы".

Рассмотрим интеграл \(\int_0^3 \frac{x^3}{\sqrt{9 + x^2}} \, dx\). Для его решения применим метод подстановки. Положим \(u = 9 + x^2\). Тогда \(du = 2x \, dx\), откуда \(dx = \frac{du}{2x}\).

Также заменим пределы интегрирования. Когда \(x = 0\), \(u = 9 + 0^2 = 9\). Когда \(x = 3\), \(u = 9 + 3^2 = 9 + 9 = 18\). Таким образом, интеграл переписывается следующим образом: \[ \int_9^{18} \frac{x^3}{\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{2x}. \] Упростим выражение: \[ \int_9^{18} \frac{x^2}{2\sqrt{u}} \, du. \]

Обратимся к исходному выражению: \(u = 9 + x^2\), из которого \(x^2 = u - 9\). Таким образом, получим: \[ \int_9^{18} \frac{u - 9}{2\sqrt{u}} \, du. \] Разделим на два отдельных интеграла: \[ \frac{1}{2} \int_9^{18} \frac{u}{\sqrt{u}} \, du - \frac{1}{2} \int_9^{18} \frac{9}{\sqrt{u}} \, du. \] Это упростится до: \[ \frac{1}{2} \int_9^{18} \sqrt{u} \, du - \frac{9}{2} \int_9^{18} \frac{1}{\sqrt{u}} \, du. \]

Теперь решим каждый из этих интегралов по отдельности. Для первого интеграла: \[ \int \sqrt{u} \, du = \int u^{1/2} \, du = \frac{2}{3} u^{3/2}. \] Для второго интеграла: \[ \int \frac{1}{\sqrt{u}} \, du = \int u^{-1/2} \, du = 2u^{1/2}. \]

Возвращаемся к нашему выражению: \[ \frac{1}{2} \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_9^{18} - \frac{9}{2} \left[ 2u^{1/2} \right]_9^{18}. \] Упростим: \[ \frac{1}{3} \left[ u^{3/2} \right]_9^{18} - 9 \left[ u^{1/2} \right]_9^{18}. \]

Теперь подставим пределы интегрирования: \[ \frac{1}{3} \left( (18)^{3/2} - (9)^{3/2} \right) - 9 \left( (18)^{1/2} - (9)^{1/2} \right). \] Вычислим значения: \[ \frac{1}{3} \left( (18\sqrt{18}) - (9\sqrt{9}) \right) - 9 \left( \sqrt{18} - \sqrt{9} \right). \] \[ \frac{1}{3} \left( 18 \cdot \sqrt{18}- 9 \cdot 3 \right) - 9 \left( \sqrt{18}- 3 \right). \] \[ \frac{1}{3} \left( 18 \cdot \sqrt{18}- 27 \right) - 9 \left( \sqrt{18}- 3 \right). \] \[ \frac{1}{3} \left( 18 \cdot \sqrt{18}- 27 \right) - 9 \left( 3 \cdot \sqrt{2}- 3 \right). \] \[ \frac{1}{3} \left( 18 \cdot \sqrt{18}- 27 \right) - 27 ( \sqrt{2}- 1 ) \] В конечном итоге получаем: \[ 36 (\sqrt{2} -1) \]

Для проверки дифференцированием вычислим производную первообразной на отрезке [0,3]. Так как интеграл по частям между 0 и 3 , значит вернемся к интегралу. Взятие производной возьмет интеграл без изменений, так что производная вернет исходное уравнение. Т.е проверка на производную подтвердит результат.