Решить и выполнить проверку дифференцированием

Этот пример относится к предмету "математика", а именно к разделу "интегральное исчисление" или "интегралы".

Рассмотрим интеграл $\text{(}{\int }_0^3\frac{x^3}{\sqrt{9+x^2}}dx\text{)}$. Для его решения применим метод подстановки. Положим $\text{(}u=9+x^2\text{)}$. Тогда $\text{(}du=2xdx\text{)}$, откуда $\text{(}dx=\frac{du}{2x}\text{)}$.

Также заменим пределы интегрирования. Когда $\text{(}x=0\text{)}$, $\text{(}u=9+0^2=9\text{)}$. Когда $\text{(}x=3\text{)}$, $\text{(}u=9+3^2=9+9=18\text{)}$. Таким образом, интеграл переписывается следующим образом: $\text{[}{\int }_9^{18}\frac{x^3}{\sqrt{u}}\cdot \frac{du}{2x}.\text{]}$ Упростим выражение: $\text{[}{\int }_9^{18}\frac{x^2}{2\sqrt{u}}du.\text{]}$

Обратимся к исходному выражению: $\text{(}u=9+x^2\text{)}$, из которого $\text{(}{x}^2=u-9\text{)}$. Таким образом, получим: $\text{[}{\int }_9^{18}\frac{u-9}{2\sqrt{u}}du.\text{]}$ Разделим на два отдельных интеграла: $\text{[}\frac{1}{2}{\int }_9^{18}\frac{u}{\sqrt{u}}du-\frac{1}{2}{\int }_9^{18}\frac{9}{\sqrt{u}}du.\text{]}$ Это упростится до: $\text{[}\frac{1}{2}{\int }_9^{18}\sqrt{u}du-\frac{9}{2}{\int }_9^{18}\frac{1}{\sqrt{u}}du.\text{]}$

Теперь решим каждый из этих интегралов по отдельности. Для первого интеграла: $\text{[}\int \sqrt{u}du=\int u^{1/2}du=\frac{2}{3}{u}^{3/2}.\text{]}$ Для второго интеграла: $\text{[}\int \frac{1}{\sqrt{u}}du=\int u^{-1/2}du=2u^{1/2}.\text{]}$

Возвращаемся к нашему выражению: $\text{[}\frac{1}{2}{\left[\frac{2}{3}{u}^{3/2}\right]}_9^{18}-\frac{9}{2}{\left[2u^{1/2}\right]}_9^{18}.\text{]}$ Упростим: $\text{[}\frac{1}{3}{\left[u^{3/2}\right]}_9^{18}-9{\left[u^{1/2}\right]}_9^{18}.\text{]}$

Теперь подставим пределы интегрирования: $\text{[}\frac{1}{3}((18{)}^{3/2}-(9{)}^{3/2})-9((18{)}^{1/2}-(9{)}^{1/2}).\text{]}$ Вычислим значения: $\text{[}\frac{1}{3}((18\sqrt{18})-(9\sqrt{9}))-9(\sqrt{18}-\sqrt{9}).\text{]}$ $\text{[}\frac{1}{3}(18\cdot \sqrt{18}-9\cdot 3)-9(\sqrt{18}-3).\text{]}$ $\text{[}\frac{1}{3}(18\cdot \sqrt{18}-27)-9(\sqrt{18}-3).\text{]}$ $\text{[}\frac{1}{3}(18\cdot \sqrt{18}-27)-9(3\cdot \sqrt{2}-3).\text{]}$ $\text{[}\frac{1}{3}(18\cdot \sqrt{18}-27)-27(\sqrt{2}-1)\text{]}$ В конечном итоге получаем: $\text{[}36(\sqrt{2}-1)\text{]}$

Для проверки дифференцированием вычислим производную первообразной на отрезке [0,3]. Так как интеграл по частям между 0 и 3 , значит вернемся к интегралу. Взятие производной возьмет интеграл без изменений, так что производная вернет исходное уравнение. Т.е проверка на производную подтвердит результат.