Решить и очень подробно объяснить решение определенных интегралов по частям

Предмет: Математика

Раздел: Интегральное исчисление (Интегрирование по частям)

Рассмотрим интеграл из пункта ж):
\int\limits_0^1 \ln(1 + x)dx

1. Формула интегрирования по частям

Интегрирование по частям основано на формуле:
\int u dv = uv - \int v du

Где:

• u — функция, которую удобно дифференцировать
• dv — функция, которую легко интегрировать

2. Выбор функций u и dv

Выбираем:

• u = \ln(1 + x), тогда du = \frac{dx}{1 + x}
• dv = dx, тогда v = x

3. Применение формулы интегрирования по частям

Подставляем в формулу:
 \int\limits_0^1 \ln(1 + x)dx = x \ln(1 + x) \Big|_0^1 - \int\limits_0^1 \frac{x dx}{1 + x} 

4. Вычисление первого слагаемого

Подставляем пределы в x \ln(1 + x):
 1 \cdot \ln(1 + 1) - 0 \cdot \ln(1 + 0) = \ln 2 - 0 = \ln 2 

5. Вычисление оставшегося интеграла

Рассмотрим интеграл:
\int\limits_0^1 \frac{x dx}{1 + x}

Разделим в числителе:
x = (1 + x) - 1, тогда:
 \int\limits_0^1 \frac{x dx}{1 + x} = \int\limits_0^1 \frac{(1 + x - 1)dx}{1 + x} = \int\limits_0^1 \frac{(1 + x)dx}{1 + x} - \int\limits_0^1 \frac{dx}{1 + x} 

Первый интеграл:
\int\limits_0^1 1dx = x \Big|_0^1 = 1

Второй интеграл:
\int\limits_0^1 \frac{dx}{1 + x} = \ln(1 + x) \Big|_0^1 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2

Итак,
\int\limits_0^1 \frac{x dx}{1 + x} = 1 - \ln 2

6. Итоговое вычисление

 \int\limits_0^1 \ln(1 + x)dx = \ln 2 - (1 - \ln 2) = 2\ln 2 - 1 

Ответ:

\int\limits_0^1 \ln(1 + x)dx = 2\ln 2 - 1