Решить данный интеграл методом замены переменной

Предмет: Математика

Раздел: Интегралы, методы интегрирования

Требуется решить данный интеграл методом замены переменной.

Интеграл:

\[\int_{1/2}^1 \frac{2x - 3}{(x + 2)^3} \, dx.\]

Шаг 1: Выбор замены переменной

Пусть \( u = x + 2 \). Тогда:

• \( du = dx \),
• \( x = u - 2 \).

При замене переменной пределы интегрирования преобразуются:

• При \( x = 1/2 \): \( u = 1/2 + 2 = 5/2 \),
• При \( x = 1 \): \( u = 1 + 2 = 3 \).

Теперь перепишем данный интеграл через новую переменную \( u \). Подставляем:

\( 2x - 3 = 2(u - 2) - 3 = 2u - 4 - 3 = 2u - 7. \)

Интеграл принимает вид:

\[\int_{5/2}^3 \frac{2u - 7}{u^3} \, du.\]

Шаг 2: Разделение на два слагаемых

Разделим дробь:

\[\frac{2u - 7}{u^3} = \frac{2u}{u^3} - \frac{7}{u^3} = \frac{2}{u^2} - \frac{7}{u^3}.\]

Таким образом, интеграл становится:

\[\int_{5/2}^3 \left( \frac{2}{u^2} - \frac{7}{u^3} \right) \, du.\]

Шаг 3: Интегрирование каждого слагаемого

Вспомним стандартные формулы интегрирования:

\[\int u^{-n} \, du = \frac{u^{-n+1}}{-n+1}, \quad n \neq 1.\]

Интеграл от \(\frac{2}{u^2}\):

\[\int \frac{2}{u^2} \, du = \int 2u^{-2} \, du = 2 \cdot \frac{u^{-1}}{-1} = -\frac{2}{u}.\]

Интеграл от \(\frac{7}{u^3}\):

\[\int \frac{7}{u^3} \, du = \int 7u^{-3} \, du = 7 \cdot \frac{u^{-2}}{-2} = -\frac{7}{2u^2}.\]

Шаг 4: Подстановка пределов

Общий интеграл:

\[\int_{5/2}^3 \left( \frac{2}{u^2} - \frac{7}{u^3} \right) \, du = \left[ -\frac{2}{u} - \frac{7}{2u^2} \right]_{u=5/2}^{u=3}.\]

1. Подставим верхний предел (\( u = 3 \)):

\[-\frac{2}{3} - \frac{7}{2 \cdot 3^2} = -\frac{2}{3} - \frac{7}{18}.\]

Приведем к общему знаменателю (\( 18 \)):

\[-\frac{2}{3} = -\frac{12}{18}, \quad -\frac{7}{18} = -\frac{7}{18}, \quad -\frac{2}{3} - \frac{7}{18} = -\frac{12}{18} - \frac{7}{18} = -\frac{19}{18}.\]

2. Подставим нижний предел (\( u = 5/2 \)):

\[-\frac{2}{5/2} - \frac{7}{2 \cdot (5/2)^2}.\]

Упростим:

\[-\frac{2}{5/2} = -\frac{2 \cdot 2}{5} = -\frac{4}{5},\]

\[\frac{7}{2 \cdot (5/2)^2} = \frac{7}{2 \cdot \frac{25}{4}} = \frac{7}{\frac{50}{4}} = \frac{7 \cdot 4}{50} = \frac{28}{50} = \frac{14}{25}.\]

Итак:

\[-\frac{4}{5} - \frac{14}{25}.\]

Приведем дроби к общему знаменателю (\( 25 \)):

\[-\frac{4}{5} = -\frac{20}{25}, \quad -\frac{14}{25} = -\frac{14}{25}, \quad -\frac{4}{5} - \frac{14}{25} = -\frac{20}{25} - \frac{14}{25} = -\frac{34}{25}.\]

Шаг 5: Разность значений на пределах

\[-\frac{19}{18} - \left( -\frac{34}{25} \right) = -\frac{19}{18} + \frac{34}{25}.\]

\[-\frac{19}{18} = -\frac{475}{450}, \quad \frac{34}{25} = \frac{612}{450}.\]

\[-\frac{475}{450} + \frac{612}{450} = \frac{612 - 475}{450} = \frac{137}{450}.\]

Ответ:

\[\frac{137}{450}.\]

Приведем дроби к общему знаменателю \( 450 \):