Решить четвертый интеграл подробно без замен по формуле

Предмет: Математика

Раздел: Интегральное исчисление

Рассмотрим четвертый интеграл:
\int \frac{x^3}{16 - x^8} \,dx

Решим его без замен, используя метод разложения дроби.

Шаг 1: Заметим структуру знаменателя

В знаменателе присутствует выражение 16 - x^8, которое можно представить как разность квадратов:
16 - x^8 = (4 - x^4)(4 + x^4).

Таким образом, интеграл принимает вид:
\int \frac{x^3}{(4 - x^4)(4 + x^4)} \,dx.

Шаг 2: Разложение дроби

Предположим, что дробь можно разложить в виде:
\frac{x^3}{(4 - x^4)(4 + x^4)} = \frac{A}{4 - x^4} + \frac{B}{4 + x^4}.

Домножим обе части на (4 - x^4)(4 + x^4), получаем:
x^3 = A(4 + x^4) + B(4 - x^4).

Шаг 3: Подбор коэффициентов

Распишем правую часть:
x^3 = 4A + A x^4 + 4B - B x^4.

Сгруппируем члены:
x^3 = (4A + 4B) + (A - B)x^4.

Приравниваем коэффициенты:

1. Для x^4: A - B = 0 ⟹ A = B.
2. Для свободного члена: 4A + 4B = x^3.

Так как левая часть содержит x^3, а правая — только константы, это разложение неприменимо.

Шаг 4: Подход через дифференцирование

Перепишем интеграл в виде:
\int \frac{x^3}{16 - x^8} \,dx = \int \frac{x^3}{(4 - x^4)(4 + x^4)} \,dx.

Заметим, что производная от x^4 равна 4x^3. Следовательно, можно представить интеграл в виде:
\int \frac{x^3}{16 - x^8} \,dx = \frac{1}{4} \int \frac{d(x^4)}{(4 - x^4)(4 + x^4)}.

Это уже интеграл вида \int \frac{du}{(a - u)(a + u)}, который можно решить методом разложения на простейшие дроби или подстановкой.

Таким образом, дальнейшее решение сводится к стандартным методам интегрирования.