Реши вычисли площадь фигуры интеграла

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ, двойные интегралы, вычисление площади фигуры

Задача: Вычислить площадь фигуры, заданной системой уравнений из задачи 25:

y^2 = 10x + 25, \quad y^2 = -6x + 9

Шаг 1. Найдем точки пересечения кривых

Равенство двух выражений для y^2 дает:

10x + 25 = -6x + 9

Переносим все в одну сторону:

10x + 6x = 9 - 25
16x = -16
x = -1

Подставим x = -1 в первое уравнение, чтобы найти y:

y^2 = 10(-1) + 25 = -10 + 25 = 15
y = \pm \sqrt{15}

Точки пересечения: (-1, \sqrt{15}) и (-1, -\sqrt{15}).

Шаг 2. Найдем границы интегрирования по x

Найдем, где графики пересекают ось x (то есть y=0):

Для первого уравнения:

0 = 10x + 25 \Rightarrow x = -\frac{25}{10} = -2.5

Для второго уравнения:

0 = -6x + 9 \Rightarrow x = \frac{9}{6} = 1.5

Таким образом, область ограничена по x на интервале [-2.5, 1.5].

Шаг 3. Выразим y для каждой кривой

Первая кривая:

y = \pm \sqrt{10x + 25}

Вторая кривая:

y = \pm \sqrt{-6x + 9}

Шаг 4. Определим, какая кривая сверху, а какая снизу

Возьмем произвольное значение x в интервале, например, x=0:

• Первая кривая: y = \pm \sqrt{25} = \pm 5
• Вторая кривая: y = \pm \sqrt{9} = \pm 3

Значит, для положительных y верхняя граница — первая кривая, а нижняя — вторая.

Для отрицательных y наоборот: верхняя граница — вторая кривая (ближе к нулю), нижняя — первая.

Шаг 5. Запишем интеграл для площади

Площадь фигуры равна сумме площадей над и под осью x (симметрично), поэтому можно найти площадь над осью и умножить на 2:

 S = 2 \int_{-1}^{1.5} \left( \sqrt{10x + 25} - \sqrt{-6x + 9} \right) dx 

Обратите внимание, что с x < -1 подкоренные выражения могут быть отрицательными, поэтому область интегрирования - от точки пересечения x = -1 до x = 1.5.

Шаг 6. Вычислим интеграл

Обозначим:

I = \int_{-1}^{1.5} \sqrt{10x + 25} \, dx - \int_{-1}^{1.5} \sqrt{-6x + 9} \, dx

Интеграл 1:

\int \sqrt{10x + 25} \, dx

Пусть t = 10x + 25, тогда dt = 10 dx, dx = \frac{dt}{10}.

Интеграл становится:

\int \sqrt{t} \frac{dt}{10} = \frac{1}{10} \int t^{1/2} dt = \frac{1}{10} \cdot \frac{2}{3} t^{3/2} + C = \frac{1}{15} (10x + 25)^{3/2} + C

Интеграл 2:

\int \sqrt{-6x + 9} \, dx

Пусть u = -6x + 9, тогда du = -6 dx, dx = -\frac{du}{6}.

Интеграл:

\int \sqrt{u} \left(-\frac{du}{6}\right) = -\frac{1}{6} \int u^{1/2} du = -\frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} + C = -\frac{1}{9} (-6x + 9)^{3/2} + C

Шаг 7. Подставим пределы интегрирования

Итоговая формула:

 I = \left[ \frac{1}{15} (10x + 25)^{3/2} + \frac{1}{9} (-6x + 9)^{3/2} \right]_{x=-1}^{x=1.5} 

Вычислим по частям.

При x=1.5:

10 \cdot 1.5 + 25 = 15 + 25 = 40
(40)^{3/2} = 40^{1} \cdot \sqrt{40} = 40 \cdot 6.3246 \approx 252.98

-6 \cdot 1.5 + 9 = -9 + 9 = 0
0^{3/2} = 0

Выражение при x=1.5:

\frac{1}{15} \cdot 252.98 + \frac{1}{9} \cdot 0 = 16.865 + 0 = 16.865

При x=-1:

10 \cdot (-1) + 25 = -10 + 25 = 15
15^{3/2} = 15 \cdot \sqrt{15} \approx 15 \cdot 3.873 = 58.1

-6 \cdot (-1) + 9 = 6 + 9 = 15
15^{3/2} = 58.1

Выражение при x=-1:

\frac{1}{15} \cdot 58.1 + \frac{1}{9} \cdot 58.1 = 3.873 + 6.455 = 10.33

Шаг 8. Найдем значение интеграла

I = 16.865 - 10.33 = 6.535

Шаг 9. Найдем площадь фигуры

Площадь:

S = 2 \times I = 2 \times 6.535 = 13.07

Ответ:

Площадь фигуры равна примерно 13.07 единиц площади.