Реши неопределенные интегралы

Предмет: Математика
Раздел: Интегралы (неопределенные интегралы)

Рассмотрим данный интеграл:

 I = \int \frac{dx}{\cos^2{x} \sqrt{4 - \tan^2{x}}} 

Замена переменной:

Пусть  \tan{x} = t , тогда  dx = \frac{dt}{1+t^2}  и  \cos^2{x} = \frac{1}{1+t^2} .

Подставляем в интеграл:

 I = \int \frac{\frac{dt}{1+t^2}}{\frac{1}{1+t^2} \cdot \sqrt{4 - t^2}} 

Сокращаем  (1+t^2)  в числителе и знаменателе:

 I = \int \frac{dt}{\sqrt{4 - t^2}} 

Новый переход:

Это стандартный интеграл вида:

 \int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin{\frac{x}{a}} 

Здесь  a = 2 , значит:

 I = \arcsin{\frac{t}{2}} + C 

Возвращаемся к исходной переменной:

 I = \arcsin{\frac{\tan{x}}{2}} + C 

Ответ:  \arcsin{\frac{\tan{x}}{2}} + C