Реши интегралы

Предмет: Математика
Раздел: Интегралы

Рассмотрим данный интеграл:
\int \frac{\sin(x)}{\sqrt[3]{\cos^2(x)}} \,dx

Решение:

Введем замену:
t = \cos(x), тогда
dt = -\sin(x)dx.

Подставим в интеграл:
\int \frac{\sin(x)dx}{\sqrt[3]{\cos^2(x)}} = \int \frac{-dt}{\sqrt[3]{t^2}}.

Запишем корень в виде степени:
\sqrt[3]{t^2} = t^{\frac{2}{3}}.

Тогда интеграл принимает вид:
\int -t^{-\frac{2}{3}} dt.

Вычислим интеграл по стандартной формуле:
\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C, где n = -\frac{2}{3}:

\int -t^{-\frac{2}{3}} dt = -\frac{t^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}} + C = -3t^{\frac{1}{3}} + C.

Возвращаясь к t = \cos(x):
-3\cos^{\frac{1}{3}}(x) + C.

Ответ:

-3\sqrt[3]{\cos(x)} + C.