Решение определенного интеграла путем метода интегрирования по частям

Определение предмета:

Данный вопрос относится к математике, а конкретно к разделу математического анализа. Мы рассматриваем решение определенного интеграла путем метода интегрирования по частям.

Дано:

\[ I = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \arctg(x) \, dx \]

Используем метод интегрирования по частям:

Формула интегрирования по частям:

\[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \]

где:

  • \(u\) — функция, которую мы выбираем так, чтобы её производную было легко вычислить,
  • \(dv\) — дифференцируемая часть.
Делаем разложение:

Пусть:

  • \(u = \arctg(x)\), то есть \(du = \frac{1}{1+x^2} \, dx\),
  • \(dv = dx\), то есть \(v = x\).
Применяем формулу:
Распишем по частям:
  1. Часто применяется подстановка, где...
\[ I = \left[ x \cdot \arctg(x) \right]_{0}^{\frac{1}{2}} - \int_{0}^{\frac{1}{2}} x \cdot \frac{1}{1+x^2} \, dx \]
Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Заполните, пожалуйста, данные для автора:

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн

Виды работ: