Решение интегралов методом тригонометрической подстановки

Для решения этого интеграла используйте метод разложения на частичные дроби и/или тригонометрическую подстановку. Я объясню подробнее. Заметим, что данное выражение можно переписать, разделив $\text{(}(x-1)\text{)}$ на два слагаемых: $\text{[}\int \frac{(x-1)dx}{x^2+x+1}=\int \frac{xdx}{x^2+x+1}-\int \frac{dx}{x^2+x+1}\text{]}$ Первый интеграл можно решить методом подстановки, полагая $\text{(}u=x^2+x+1\text{)}$, тогда $\text{(}du=(2x+1)dx\text{)}$. Однако, для упрощения второго интеграла удобно использовать тригонометрическую подстановку.

Второй интеграл: $\text{[}\int \frac{dx}{x^2+x+1}\text{]}$ Для приведения знаменателя к более удобному виду для тригонометрической подстановки, дополним квадрат: $\text{[}{x}^2+x+1={(x+\frac{1}{2})}^2+\frac{3}{4}\text{]}$ Теперь, мы можем использовать тригонометрическую подстановку. Одна из подходящих подстановок для уравнения вида $\text{(}{u}^2+a^2\text{)}$ — это $\text{(}u=a\tan (\theta )\text{)}$.

В нашем случае у нас есть $\text{(}{(x+\frac{1}{2})}^2+\frac{3}{4}\text{)}$, поэтому мы можем сделать следующую подстановку: $\text{[}x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\tan (\theta )\text{]}$ или $\text{(}x=\frac{\sqrt{3}}{2}\tan (\theta )-\frac{1}{2}\text{)}$ Теперь, находим $\text{(}dx\text{)}$: $\text{[}dx=\frac{\sqrt{3}}{2}{\sec }^2(\theta )d\theta \text{]}$ Подставляем $\text{(}x\text{)}$ и $\text{(}dx\text{)}$ в интеграл: $\text{[}\int \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}{\sec }^2(\theta )d\theta }{{(\frac{\sqrt{3}}{2}\tan (\theta ))}^2+\frac{3}{4}}\text{]}$ Упрощая это выражение, получим интеграл, который уже можно решить с использованием основных тригонометрических интегралов.

После нахождения интеграла, не забудьте выполнить обратную тригонометрическую подстановку, чтобы вернуться к переменной $\text{(}x\text{)}$, и сложите результаты двух интегралов, чтобы получить окончательное решение. Заметьте, что я не привел полное решение, так как вам может быть полезно попробовать выполнить эти шаги самостоятельно и убедиться, что вы понимаете процесс интегрирования по частям и тригонометрическую подстановку.