Решение интегралов методом тригонометрической подстановки

Для решения этого интеграла используйте метод разложения на частичные дроби и/или тригонометрическую подстановку. Я объясню подробнее. Заметим, что данное выражение можно переписать, разделив \( (x - 1) \) на два слагаемых: \[ \int \frac{(x - 1) \, dx}{x^2 + x + 1} = \int \frac{x \, dx}{x^2 + x + 1} - \int \frac{dx}{x^2 + x + 1} \] Первый интеграл можно решить методом подстановки, полагая \( u = x^2 + x + 1 \), тогда \( du = (2x + 1) \, dx \). Однако, для упрощения второго интеграла удобно использовать тригонометрическую подстановку.

Второй интеграл: \[ \int \frac{dx}{x^2 + x + 1} \] Для приведения знаменателя к более удобному виду для тригонометрической подстановки, дополним квадрат: \[ x^2 + x + 1 = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} \] Теперь, мы можем использовать тригонометрическую подстановку. Одна из подходящих подстановок для уравнения вида \( u^2 + a^2 \) — это \( u = a\tan(\theta) \).

В нашем случае у нас есть \( \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} \), поэтому мы можем сделать следующую подстановку: \[ x + \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\tan(\theta) \] или \( x = \frac{\sqrt{3}}{2}\tan(\theta) - \frac{1}{2} \) Теперь, находим \( dx \): \[ dx = \frac{\sqrt{3}}{2}\sec^2(\theta) \, d\theta \] Подставляем \( x \) и \( dx \) в интеграл: \[ \int \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\sec^2(\theta) \, d\theta}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\tan(\theta)\right)^2 + \frac{3}{4}} \] Упрощая это выражение, получим интеграл, который уже можно решить с использованием основных тригонометрических интегралов.

После нахождения интеграла, не забудьте выполнить обратную тригонометрическую подстановку, чтобы вернуться к переменной \( x \), и сложите результаты двух интегралов, чтобы получить окончательное решение. Заметьте, что я не привел полное решение, так как вам может быть полезно попробовать выполнить эти шаги самостоятельно и убедиться, что вы понимаете процесс интегрирования по частям и тригонометрическую подстановку.