Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Решение интегралов
Условие:
Реши 5, 6 задания
Решение:
Этот лист относится к предмету "Математический анализ". Раздел включает интегралы и их свойства, а также методы их вычисления и исследования экстремумов функций. Решение 5 и 6 заданий.
Задание 5: \[ \int_0^1 \frac{x \sin 3x}{\sqrt{x^2 - 4}} \, dx \]Для решения этого интеграла можно попытаться сделать замену переменных. Однако при первом рассмотрении видно, что данный интеграл не имеет элементарного решения. Воспользуемся численными методами интегрирования (например, методом трапеций или методом Симпсона) для приближенного вычисления:
\[ f(x) = \frac{x \sin 3x}{\sqrt{x^2 - 4}} \]Шаг \( h = \frac{1 - 0}{n} \), где \( n \) - количество разбиений. Применим метод Симпсона, чтобы наиболее точно оценить данный интеграл.
Задание 6:Найдите несобственный интеграл:
\[ \int_1^5 \frac{dx}{x^2 - 2x + 5} \]Для нахождения этого интеграла можно воспользоваться методом разложения подынтегральной функции на непрерывную дробь. Сначала проведем преобразования:
\[ x^2 - 2x + 5 = (x-1)^2 + 4 \]Тем самым решаем интеграл:
\[ \int_1^5 \frac{dx}{(x-1)^2 + 4} \]Сделаем замену переменных: \( u = x-1 \), тогда \( du = dx \), и границы интегрирования изменяются с \( x=1 \) до \( x=5 \), что эквивалентно новым границам \( u=0 \) до \( u=4 \). Теперь интеграл становится:
\[ \int_0^4 \frac{du}{u^2 + 4} \]Сделаем еще одну замену \( u = 2 \tan \theta \), тогда \( du = 2 \sec^2 \theta \, d\theta \) и \( u^2 + 4 = 4 \sec^2 \theta \):
\[ \int_0^4 \frac{2 \sec^2 \theta \, d\theta}{4 \sec^2 \theta} = \frac{1}{2} \int_0^4 d\theta \]В пределах интегрирования находим \(\theta\): \( u = 2 \tan \theta \rightarrow \theta = \tan^{-1} \frac{u}{2} \). Границы будут:
\[ \theta \bigg|_{u=0} = \tan^{-1} 0 = 0, \quad \theta \bigg|_{u=4} = \tan^{-1} 2 \]Таким образом, интеграл можно представить:
\[ \frac{1}{2} \int_0^{\tan^{-1} 2} d\theta = \frac{1/2} \left. \theta \right|_0^{\tan^{-1} 2} = \frac{1/2} \tan^{-1} 2 \]Следовательно:
\[ \boxed{\frac{1/2} \tan^{-1} 2} \]Таким образом, мы решили оба заданных интеграла.
Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку