Решение интеграла

Предмет: Математика
Раздел: Интегралы (неопределенные интегралы)

Рассмотрим последовательное решение интегралов 7.15, 7.16, 7.17, 7.18, 7.21, 7.33.

Решение интеграла 7.15:

\int \left(\frac{1-x}{x}\right)^2 dx

Раскрываем скобки и преобразуем выражение:

\left(\frac{1-x}{x}\right)^2 = \frac{(1-x)^2}{x^2} = \frac{1 - 2x + x^2}{x^2} = \frac{1}{x^2} - \frac{2}{x} + 1.

Теперь интегрируем каждый член:

\int \frac{1}{x^2} dx - \int \frac{2}{x} dx + \int 1 dx = -\frac{1}{x} - 2\ln|x| + x + C,

где C — произвольная константа интегрирования.

Ответ: -\frac{1}{x} - 2\ln|x| + x + C.

Решение интеграла 7.16:

\int \frac{x^2 + 5x + 6}{x+3} dx

Делим числитель на знаменатель, используя полное деление многочленов:

\frac{x^2 + 5x + 6}{x+3} = x + 2 + \frac{0}{x+3}.

Таким образом:

\int \frac{x^2 + 5x + 6}{x+3} dx = \int x dx + \int 2 dx = \frac{x^2}{2} + 2x + C.

Ответ: \frac{x^2}{2} + 2x + C.

Решение интеграла 7.17:

\int \left(\frac{1}{x^2} - 1\right) dx

Разделяем интеграл:

\int \frac{1}{x^2} dx - \int 1 dx = -\frac{1}{x} - x + C.

Ответ: -\frac{1}{x} - x + C.

Решение интеграла 7.18:

\int \frac{2 - x + x^2}{3x} dx

Разделим каждый член числителя на знаменатель:

\frac{2 - x + x^2}{3x} = \frac{2}{3x} - \frac{x}{3x} + \frac{x^2}{3x} = \frac{2}{3x} - \frac{1}{3} + \frac{x}{3}.

Интегрируем каждый член:

\int \frac{2}{3x} dx - \int \frac{1}{3} dx + \int \frac{x}{3} dx = \frac{2}{3} \ln|x| - \frac{x}{3} + \frac{x^2}{6} + C.

Ответ: \frac{2}{3} \ln|x| - \frac{x}{3} + \frac{x^2}{6} + C.

Решение интеграла 7.21:

\int \frac{x-1}{\sqrt{x-1}} dx

Упростим дробь:

\frac{x-1}{\sqrt{x-1}} = \sqrt{x-1}.

Теперь интегрируем:

\int \sqrt{x-1} dx = \int (x-1)^{1/2} dx = \frac{2}{3} (x-1)^{3/2} + C.

Ответ: \frac{2}{3} (x-1)^{3/2} + C.

Решение интеграла 7.33:

\int \frac{\sin 2x}{\cos x} dx

Используем тригонометрическое тождество \sin 2x = 2\sin x \cos x:

\int \frac{\sin 2x}{\cos x} dx = \int \frac{2\sin x \cos x}{\cos x} dx = \int 2\sin x dx.

Интеграл от \sin x равен -\cos x:

\int 2\sin x dx = -2\cos x + C.

Ответ: -2\cos x + C.

Если потребуется решение других интегралов из списка, сообщите!