Решение двух заданных интегралов

Предмет: Математика

Раздел: Интегральное исчисление

Рассмотрим решение двух заданных интегралов.

Задача 7.49:

Вычислить интеграл:
\int \frac{dx}{\cos^2(10x)}

Решение:
Напоминаем, что \frac{1}{\cos^2 u} = \sec^2 u, а также, что производная тангенса \tan u равна \frac{d}{du}[\tan u] = \sec^2 u.

Пусть u = 10x, тогда du = 10 dx, или dx = \frac{du}{10}. Подставим это в интеграл:

 \int \frac{dx}{\cos^2(10x)} = \int \sec^2(10x) dx = \frac{1}{10} \int \sec^2 u \, du. 

Интеграл от \sec^2 u равен \tan u. Тогда:

 \frac{1}{10} \int \sec^2 u \, du = \frac{1}{10} \tan u + C. 

Возвращаемся к исходной переменной x:

 \frac{1}{10} \tan(10x) + C. 

Ответ:
\frac{1}{10} \tan(10x) + C.

Задача 7.51:

Вычислить интеграл:
\int \frac{dx}{4 + 25x^2}

Решение:
Этот интеграл решается с использованием стандартной формулы:

 \int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C. 

В данном случае a^2 = 4, значит a = 2, а 25x^2 = (5x)^2.

Пусть u = 5x, тогда du = 5 dx, или dx = \frac{du}{5}. Подставим:

 \int \frac{dx}{4 + 25x^2} = \int \frac{\frac{1}{5} du}{4 + u^2}. 

Вынесем \frac{1}{5} за знак интеграла:

 \frac{1}{5} \int \frac{du}{4 + u^2}. 

Теперь используем стандартную формулу:

 \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{u}{2}\right) + C = \frac{1}{10} \arctan\left(\frac{u}{2}\right) + C. 

Возвращаемся к переменной x (u = 5x):

 \frac{1}{10} \arctan\left(\frac{5x}{2}\right) + C. 

Ответ:
\frac{1}{10} \arctan\left(\frac{5x}{2}\right) + C.