Решение двух интегралов

Предмет: Математика
Раздел: Интегралы

Рассмотрим решение двух интегралов по порядку.

Задача 7.49. Решить интеграл:

\int \frac{dx}{\cos^2{10x}}

Решение:

Используем тригонометрическую тождественную связь:
\frac{1}{\cos^2{u}} = \tan^2{u} + 1,
или, что то же самое,
\frac{1}{\cos^2{u}} = \sec^2{u}.

Таким образом, перепишем интеграл:
\int \frac{dx}{\cos^2{10x}} = \int \sec^2{10x} \, dx.

Известно, что производная функции \tan{u} равна \sec^2{u}. Следовательно:
\int \sec^2{10x} \, dx = \frac{1}{10} \tan{10x} + C,
где C — произвольная постоянная интегрирования.

Ответ для 7.49:
\int \frac{dx}{\cos^2{10x}} = \frac{1}{10} \tan{10x} + C.

Задача 7.51. Решить интеграл:

\int \frac{dx}{4 + 25x^2}

Решение:

Этот интеграл решается с помощью подстановки, приводящей к арктангенсу. Для этого преобразуем знаменатель к виду a^2 + u^2, где a = 2 и u = 5x.

1. Введем замену:
   u = 5x, \, du = 5 \, dx, \, dx = \frac{du}{5}.

2. Подставим замену в интеграл:
   \int \frac{dx}{4 + 25x^2} = \int \frac{\frac{du}{5}}{4 + u^2} = \frac{1}{5} \int \frac{du}{4 + u^2}.

3. Теперь используем стандартный результат:
   \int \frac{du}{a^2 + u^2} = \frac{1}{a} \arctan{\frac{u}{a}} + C.
   Здесь a = 2.

   Подставляем:
   \frac{1}{5} \int \frac{du}{4 + u^2} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} \arctan{\frac{u}{2}} + C = \frac{1}{10} \arctan{\frac{u}{2}} + C.

4. Возвращаемся к переменной x:
   u = 5x.
   Тогда:
   \frac{1}{10} \arctan{\frac{u}{2}} + C = \frac{1}{10} \arctan{\frac{5x}{2}} + C.

Ответ для 7.51:
\int \frac{dx}{4 + 25x^2} = \frac{1}{10} \arctan{\frac{5x}{2}} + C.

Обобщенные ответы для обоих интегралов:

1. \int \frac{dx}{\cos^2{10x}} = \frac{1}{10} \tan{10x} + C.
2. \int \frac{dx}{4 + 25x^2} = \frac{1}{10} \arctan{\frac{5x}{2}} + C.