Решение без замены переменной

Предмет: Математика

Раздел: Интегралы (неопределенные интегралы)

Рассмотрим интеграл:

 I = \int \frac{dx}{(x+1) \ln(x+1)} 

Решение без замены переменной:

Рассмотрим метод дифференцирования логарифма. Введем логарифмическое выражение в числителе:

 I = \int \frac{dx}{(x+1) \ln(x+1)} 

Заметим, что производная логарифма \ln(x+1) равна:

 \frac{d}{dx} \ln(x+1) = \frac{1}{x+1} 

Следовательно, представим дифференциал:

 d(\ln(x+1)) = \frac{dx}{x+1} 

Это позволяет нам переписать интеграл в виде:

 I = \int \frac{d(\ln(x+1))}{\ln(x+1)} 

Теперь интеграл принимает вид:

 I = \int \frac{du}{u} 

где u = \ln(x+1). Этот интеграл легко вычисляется:

 I = \ln |u| + C = \ln |\ln(x+1)| + C 

Ответ:

 I = \ln |\ln(x+1)| + C