Решение без замены

Предмет: Математика

Раздел: Интегралы

Дан определенный интеграл:
 I = \int \frac{e^{\arccos x}}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx 

Решение без замены:

Заметим, что производная функции \arccos x равна:
 \frac{d}{dx} \arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} 

Следовательно, в нашем интеграле присутствует выражение \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}}, которое является дифференциалом -\arccos x.

Перепишем интеграл:
 I = \int e^{\arccos x} \cdot \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} 

Так как d(\arccos x) = -\frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}}, то
 I = \int e^{\arccos x} \cdot (-d(\arccos x)) 

Введем новую переменную t = \arccos x, тогда dt = -\frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}}, и интеграл принимает вид:
 I = -\int e^t dt 

Интегрируем:
 I = -e^t + C 

Возвращаясь к исходной переменной t = \arccos x, получаем окончательный ответ:
 I = -e^{\arccos x} + C