Разложить по степеням функцию в серии Тейлора до второго порядка

Предмет этого задания — математика, раздел — многомерные разложения (разложение функции в ряд Тейлора).

Задание: Разложить по степеням \( (x + 1) \) и \( (y - 2) \) функцию \( f(x, y) = 3x^4 y^5 \) в серии Тейлора до второго порядка.

Шаг 1: Формула разложения в ряд Тейлора для функции двух переменных

Формула для ряда Тейлора для функции \( f(x, y) \) до второго порядка: \[ f(x, y) \approx f(a, b) + f_x(a, b)(x-a) + f_y(a, b)(y-b) + \frac{1}{2!} [ f_{xx}(a, b)(x-a)^2 + 2f_{xy}(a, b)(x-a)(y-b) + f_{yy}(a, b)(y-b)^2 ] \]

Шаг 2: Определение точки разложения

В данном случае нам нужно разложить функцию в точке \( (x, y) = (-1, 2) \).

Шаг 3: Вычисление значений функции и ее производных в точке

Функция: \( f(x, y) = 3x^4 y^5 \)

Вычислим значения функции и ее частных производных до второго порядка в точке \( (-1, 2) \):

1. \( f(-1, 2) = 3(-1)^4(2)^5 = 3 \cdot 1 \cdot 32 = 96 \)
2. Частные производные первого порядка:

   \[ f_x(x, y) = 12x^3 y^5 \]

   \[ f_x(-1, 2) = 12(-1)^3(2)^5 = 12 \cdot (-1) \cdot 32 = -384 \]

   \[ f_y(x, y) = 15x^4 y^4 \]

   \[ f_y(-1, 2) = 15(-1)^4(2)^4 = 15 \cdot 1 \cdot 16 = 240 \]

3. Частные производные второго порядка:

   \[ f_{xx}(x, y) = 36x^2 y^5 \]

   \[ f_{xx}(-1, 2) = 36(-1)^2(2)^5 = 36 \cdot 1 \cdot 32 = 1152 \]

   \[ f_{yy}(x, y) = 60x^4 y^3 \]

   \[ f_{yy}(-1, 2) = 60(-1)^4(2)^3 = 60 \cdot 1 \cdot 8 = 480 \]

   \[ f_{xy}(x, y) = 60x^3 y^4 \]

   \[ f_{xy}(-1, 2) = 60(-1)^3(2)^4 = 60 \cdot (-1) \cdot 16 = -960 \]

Шаг 4: Подстановка в формулу ряда Тейлора

\[ f(x, y) \approx 96 + (-384)(x+1) + 240(y-2) + \frac{1}{2!} [1152(x+1)^2 + 2(-960)(x+1)(y-2) + 480(y-2)^2] \]

Шаг 5: Упрощение выражения

\[ f(x, y) \approx 96 - 384(x+1) + 240(y-2) + \frac{1}{2} [1152(x+1)^2 + (-1920)(x+1)(y-2) + 480(y-2)^2] \]

\[ f(x, y) \approx 96 - 384(x+1) + 240(y-2) + 576(x+1)^2 - 960(x+1)(y-2) + 240(y-2)^2 \]

Это и есть разложение функции \( f(x,y) = 3x^4 y^5 \) по степеням \( (x + 1) \) и \( (y - 2) \) до второго порядка в точке \( (-1, 2) \).