Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки

Предмет: Математика

Раздел предмета: Математический анализ, Ряды, Разложение в ряд Тейлора

Давайте разберём задачу подробно: Мы хотим разложить функцию \( y = \sqrt{x^3} \) в ряд Тейлора в окрестности точки \( x = 1 \).

1. Формула разложения функции в ряд Тейлора:

Функция \( y(x) \) раскладывается в ряд Тейлора в точке \( x = x_0 \) по формуле:

\[ y(x) = y(x_0) + y'(x_0)(x - x_0) + \frac{y''(x_0)}{2}(x - x_0)^2 + \frac{y'''(x_0)}{6}(x - x_0)^3 + \dots \]

где \( y(x_0) \), \( y'(x_0) \), \( y''(x_0) \), \( y'''(x_0) \) и так далее — это значения функции и её производных в точке \( x_0 \).

2. Вычисляем производные функции \( y(x) = \sqrt{x^3} \):

Перепишем функцию в удобной форме: \[ y(x) = x^{3/2}. \]

Первая производная:

\[ y'(x) = \frac{d}{dx}(x^{3/2}) = \frac{3}{2}x^{1/2}. \]

Вторая производная:

\[ y''(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{3}{2}x^{1/2}\right) = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{3}{4}x^{-1/2}. \]

Третья производная:

\[ y'''(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{3}{4}x^{-1/2}\right) = \frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)x^{-3/2} = -\frac{3}{8}x^{-3/2}. \]

Четвёртая производная:

\[ y^{(4)}(x) = \frac{d}{dx}\left(-\frac{3}{8}x^{-3/2}\right) = -\frac{3}{8} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)x^{-5/2} = \frac{9}{16}x^{-5/2}. \]

3. Вычисляем значения производных в точке \( x = 1 \):

Подставим \( x = 1 \) в каждую производную:

• \( y(1) = 1^{3/2} = 1 \),
• \( y'(1) = \frac{3}{2}(1^{1/2}) = \frac{3}{2} \),
• \( y''(1) = \frac{3}{4}(1^{-1/2}) = \frac{3}{4} \),
• \( y'''(1) = -\frac{3}{8}(1^{-3/2}) = -\frac{3}{8} \),
• \( y^{(4)}(1) = \frac{9}{16}(1^{-5/2}) = \frac{9}{16} \).

4. Подставляем всё в ряд Тейлора:

Запишем разложение:

\[ y(x) = y(1) + y'(1)(x - 1) + \frac{y''(1)}{2}(x - 1)^2 + \frac{y'''(1)}{6}(x - 1)^3 + \frac{y^{(4)}(1)}{24}(x - 1)^4 + \dots \]

Подставим значения производных:

\[ y(x) = 1 + \frac{3}{2}(x - 1) + \frac{\frac{3}{4}}{2}(x - 1)^2 + \frac{-\frac{3}{8}}{6}(x - 1)^3 + \frac{\frac{9}{16}}{24}(x - 1)^4 + \dots \]

Упростим коэффициенты:

• Для второго члена: \( \frac{\frac{3}{4}}{2} = \frac{3}{8} \),
• Для третьего члена: \( \frac{-\frac{3}{8}}{6} = -\frac{3}{48} = -\frac{1}{16} \),
• Для четвёртого члена: \( \frac{\frac{9}{16}}{24} = \frac{9}{384} = \frac{3}{128} \).

Таким образом:

\[ y(x) = 1 + \frac{3}{2}(x - 1) + \frac{3}{8}(x - 1)^2 - \frac{1}{16}(x - 1)^3 + \frac{3}{128}(x - 1)^4 + \dots \]

5. Ответ:

\[ y(x) = 1 + \frac{3}{2}(x - 1) + \frac{3}{8}(x - 1)^2 - \frac{1}{16}(x - 1)^3 + \frac{3}{128}(x - 1)^4 + \dots \]

Ряд Тейлора функции \( y = \sqrt{x^3} \) в окрестности точки \( x = 1 \) имеет вид: