Разложить функцию в ряд по степеням

Предмет: Математика
Раздел: Числовые и степенные ряды

Рассмотрим задачу 5: разложить функцию f(x) = (x+1)e^{-2x} в ряд по степеням (x-1).

Решение:

1. Функция для разложения: f(x) = (x+1)e^{-2x}.

2. Представление экспоненты в виде ряда: Экспонента e^{-2x} раскладывается в ряд Тейлора: e^{-2x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2x)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2)^n x^n}{n!}.

3. Замена переменной: Нам нужно разложить функцию по степеням (x-1), поэтому сделаем замену x = 1 + t, где t = x - 1. Тогда:

   • x + 1 = (1 + t) + 1 = t + 2,
   • e^{-2x} = e^{-2(1+t)} = e^{-2} \cdot e^{-2t}.

4. Функция принимает вид: f(x) = (t + 2) e^{-2} e^{-2t}.

5. Разложение экспоненты e^{-2t}: Разложим e^{-2t} в ряд Тейлора: e^{-2t} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2t)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2)^n t^n}{n!}.

6. Подстановка разложения: Подставим разложение e^{-2t} в выражение для f(x): f(x) = e^{-2} (t + 2) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2)^n t^n}{n!}.

7. Раскрытие скобок: Умножим (t + 2) на ряд: f(x) = e^{-2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2)^n (t^{n+1} + 2t^n)}{n!}.

   Разделим сумму на два слагаемых: f(x) = e^{-2} \left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2)^n t^{n+1}}{n!} + 2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2)^n t^n}{n!} \right).

8. Сдвиг индекса в первой сумме: В первой сумме сделаем замену индекса k = n + 1, тогда n = k - 1, и: \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2)^n t^{n+1}}{n!} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-2)^{k-1} t^k}{(k-1)!} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-2)^{k-1} t^k}{k!} \cdot k.

9. Итоговое выражение: После приведения всех членов ряда, функция f(x) разложится в виде: f(x) = e^{-2} \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-1)^n, где коэффициенты a_n вычисляются по формулам, приведённым выше.