Разложить данную функцию в ряд Тейлора в окрестности точки

Давайте разберем это задание четко по шагам.

Определение предмета и раздел:

• Предмет: Математика.
• Раздел: Математический анализ (ряды Тейлора и разложения функций).

Постановка задачи:

Разложить данную функцию в ряд Тейлора в окрестности точки \( x = 2 \).

Функция дана: \[ y = \sin\left(\frac{\pi x}{4}\right). \]

Ряд Тейлора для функции \( f(x) \) в окрестности точки \( x = a \) записывается как:

\[ f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x - a)^3 + \dots \]

То есть, нам нужно посчитать значения функции и её производных в точке \( x = 2 \).

Шаг 1. Вычисление функции в точке \( x = 2 \):

\[ f(x) = \sin\left(\frac{\pi x}{4}\right). \]

Подставляем \( x = 2 \):

\[ f(2) = \sin\left(\frac{\pi \cdot 2}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1. \]

Итак, \( f(2) = 1 \).

Шаг 2. Найдем первую производную:

Функция \( f(x) = \sin\left(\frac{\pi x}{4}\right) \). Применяем производную:

\[ f'(x) = \cos\left(\frac{\pi x}{4}\right) \cdot \frac{\pi}{4}. \]

Теперь вычисляем \( f'(2) \):

\[ f'(2) = \cos\left(\frac{\pi \cdot 2}{4}\right) \cdot \frac{\pi}{4} = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) \cdot \frac{\pi}{4}. \]

\(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0\), поэтому:

\[ f'(2) = 0. \]

Шаг 3. Найдем вторую производную:

Вторая производная получается из первой:

\[ f'(x) = \cos\left(\frac{\pi x}{4}\right) \cdot \frac{\pi}{4}. \]

Берем её производную:

\[ f''(x) = -\sin\left(\frac{\pi x}{4}\right) \cdot \left(\frac{\pi}{4}\right)^2. \]

Теперь вычисляем \( f''(2) \):

\[ f''(2) = -\sin\left(\frac{\pi \cdot 2}{4}\right) \cdot \left(\frac{\pi}{4}\right)^2 = -\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) \cdot \left(\frac{\pi}{4}\right)^2. \]

\(\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1\), поэтому:

\[ f''(2) = -\left(\frac{\pi}{4}\right)^2 = -\frac{\pi^2}{16}. \]

Шаг 4. Найдем третью производную:

\[ f''(x) = -\sin\left(\frac{\pi x}{4}\right) \cdot \left(\frac{\pi}{4}\right)^2. \]

Берем её производную:

\[ f'''(x) = -\cos\left(\frac{\pi x}{4}\right) \cdot \left(\frac{\pi}{4}\right)^3. \]

Вычислим \( f'''(2) \):

\[ f'''(2) = -\cos\left(\frac{\pi \cdot 2}{4}\right) \cdot \left(\frac{\pi}{4}\right)^3 = -\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) \cdot \left(\frac{\pi}{4}\right)^3. \]

\(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0\), поэтому:

\[ f'''(2) = 0. \]

Шаг 5. Найдем четвёртую производную:

\[ f'''(x) = -\cos\left(\frac{\pi x}{4}\right) \cdot \left(\frac{\pi}{4}\right)^3. \]

Берем производную:

\[ f^{(4)}(x) = \sin\left(\frac{\pi x}{4}\right) \cdot \left(\frac{\pi}{4}\right)^4. \]

Вычислим \( f^{(4)}(2) \):

\[ f^{(4)}(2) = \sin\left(\frac{\pi \cdot 2}{4}\right) \cdot \left(\frac{\pi}{4}\right)^4 = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) \cdot \left(\frac{\pi}{4}\right)^4. \]

\(\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1\), поэтому:

\[ f^{(4)}(2) = \left(\frac{\pi}{4}\right)^4 = \frac{\pi^4}{256}. \]

Шаг 6. Составляем ряд Тейлора:

Теперь подставляем всё в ряд Тейлора:

\[ f(x) = f(2) + f'(2)(x - 2) + \frac{f''(2)}{2!}(x - 2)^2 + \frac{f'''(2)}{3!}(x - 2)^3 + \frac{f^{(4)}(2)}{4!}(x - 2)^4 + \dots \]

Подставляем найденные значения:

\[ f(x) = 1 + 0 \cdot (x - 2) + \frac{-\frac{\pi^2}{16}}{2!}(x - 2)^2 + 0 \cdot (x - 2)^3 + \frac{\frac{\pi^4}{256}}{4!}(x - 2)^4 + \dots \]

Упрощаем:

\[ f(x) = 1 - \frac{\frac{\pi^2}{16}}{2}(x - 2)^2 + \frac{\frac{\pi^4}{256}}{24}(x - 2)^4 + \dots \]

\[ f(x) = 1 - \frac{\pi^2}{32}(x - 2)^2 + \frac{\pi^4}{6144}(x - 2)^4 + \dots \]

Ответ:

Ряд Тейлора функции \( y = \sin\left(\frac{\pi x}{4}\right) \) в окрестности точки \( x = 2 \):

\[ y \approx 1 - \frac{\pi^2}{32}(x - 2)^2 + \frac{\pi^4}{6144}(x - 2)^4 + \dots \]