Разложение функции в степенной ряд

Определение предмета и раздела

Данное задание относится к математическому анализу, разделу интегрального исчисления, а в частности к расчету определенных интегралов методом разложения подынтегральной функции в степенной ряд.

Решение

Шаг 1. Разложение функции в степенной ряд.

Используем разложение функции косинуса в степенной ряд. Формула для разложения \(\cos(x)\) в ряд Маклорена имеет вид:

\[\cos(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}.\]

Подставим \(x^2/2\) вместо \(x\):

\[\cos\left(\frac{x^2}{2}\right) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n \left(\frac{x^2}{2}\right)^{2n}}{(2n)!}.\]

Упростим выражение:

\[\cos\left(\frac{x^2}{2}\right) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n \left(\frac{x^{4n}}{2^{2n}}\right)}{(2n)!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{4n}}{(2^{2n}(2n)!)}.\]

Получили степенной ряд подынтегральной функции.

Шаг 2. Выражение для интеграла.

Подставим разложение функции в определенный интеграл:

\[\int_0^1 \cos\left(\frac{x^2}{2}\right) dx = \int_0^1 \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{4n}}{(2^{2n}(2n)!)} dx.\]

По свойству линейности интеграла можно поменять местами интеграл и знак суммы:

\[\int_0^1 \cos\left(\frac{x^2}{2}\right) dx = \sum_{n=0}^\infty \int_0^1 \frac{(-1)^n x^{4n}}{(2^{2n}(2n)!)} dx.\]

Интеграл от \(x^{4n}\):

\[\int_0^1 x^{4n} dx = \frac{x^{4n+1}}{4n+1} \Big|_0^1 = \frac{1}{4n+1}.\]

Подставляем это в сумму:

\[\int_0^1 \cos\left(\frac{x^2}{2}\right) dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2^{2n}(2n)!(4n+1))}.\]

Шаг 3. Вычисление с точностью \(\varepsilon = 0.001\).

Суммируем члены ряда до тех пор, пока их абсолютное значение не станет меньше 0.001.

Нулевой член (\(n = 0\)):

\[a_0 = \frac{(-1)^0}{2^{2 \cdot 0}(2 \cdot 0)!(4 \cdot 0 + 1)} = \frac{1}{1} = 1.\]

Первый член (\(n = 1\)):

\[a_1 = \frac{(-1)^1}{2^{2 \cdot 1}(2 \cdot 1)!(4 \cdot 1 + 1)} = \frac{-1}{2^2 \cdot 2 \cdot 5} = \frac{-1}{20}.\]

\(a_1 = -0.05.\)

Второй член (\(n = 2\)):

\[a_2 = \frac{(-1)^2}{2^{2 \cdot 2}(2 \cdot 2)!(4 \cdot 2 + 1)} = \frac{1}{2^4 \cdot 24 \cdot 9} = \frac{1}{3456}.\]

\(a_2 \approx 0.00029.\)

Поскольку \(a_2 < 0.001\), дальнейшие члены незначительны и можно остановиться.

Сумма первых двух членов:

\[\int_0^1 \cos\left(\frac{x^2}{2}\right) dx \approx a_0 + a_1 = 1 - 0.05 = 0.95.\]

Ответ:

\[\int_0^1 \cos\left(\frac{x^2}{2}\right) dx \approx 0.95 \text{ (с точностью } \varepsilon = 0.001).\]