Расставить пределы интегрирования в двойном интеграл двумя способами

Предмет этой задачи — математика, а именно раздел математического анализа, касающийся двойных интегралов.

Итак, у нас есть область \(D\), задаваемая следующими уравнениями:

1. \( y = 64x \)
2. \( y = 4x \)
3. \( x + y = 1 \)
4. \( x + y = 25 \)

Давайте начнем с определения области интегрирования D на плоскости \(xy\).

1. Построим графики этих уравнений:
   • Прямая \( y = 64x \) идет от начала координат с очень крутым углом.
   • Прямая \( y = 4x \) также идет от начала координат, но с меньшим наклоном.
   • Прямая \( x + y = 1 \) проходит через точки (1,0) и (0,1).
   • Прямая \( x + y = 25 \) проходит через точки (25,0) и (0,25).
2. Найдем точки пересечения всех прямых, чтобы четко определить замкнутую область \(D\):
   • Пересечение \( y = 64x \) и \( x + y = 1 \):
     \[\begin{align*} y &= 64x \\ x + 64x &= 1 &\Rightarrow 65x = 1 &\Rightarrow x = \frac{1}{65}, y = \frac{64}{65} \end{align*}\]