Рассмотрим данный интеграл

Предмет: Математика
Раздел: Интегралы

Рассмотрим данный интеграл:

 I = \int \frac{e^x \, dx}{e^x + e^{-x}} 

Шаг 1: Упростим знаменатель

Заметим, что знаменатель можно записать в виде:

 e^x + e^{-x} = e^x + \frac{1}{e^x} 

Домножим числитель и знаменатель на  e^x :

 e^x + e^{-x} = \frac{e^{2x} + 1}{e^x} 

Тогда интеграл принимает вид:

 I = \int \frac{e^x \, dx}{\frac{e^{2x} + 1}{e^x}} 

Упростим дробь:

 I = \int \frac{e^x \cdot e^x \, dx}{e^{2x} + 1} = \int \frac{e^{2x} \, dx}{e^{2x} + 1} 

Шаг 2: Замена переменной

Пусть  t = e^{2x} + 1 , тогда производная:

 dt = 2e^{2x} dx 

или

 \frac{dt}{2} = e^{2x} dx 

Подставляем в интеграл:

 I = \int \frac{dt}{2t} 

Шаг 3: Вычисление интеграла

 I = \frac{1}{2} \int \frac{dt}{t} = \frac{1}{2} \ln |t| + C 

Возвращаемся к  t = e^{2x} + 1 :

 I = \frac{1}{2} \ln |e^{2x} + 1| + C 

Ответ:

 I = \frac{1}{2} \ln (e^{2x} + 1) + C