Рассмотреть интеграл

Предмет: Математика
Раздел: Интегральное исчисление

Рассмотрим интеграл:
I = \int \frac{t \, dt}{t^3 - 1}

Разложение знаменателя

Разложим знаменатель t^3 - 1 на множители:

t^3 - 1 = (t - 1)(t^2 + t + 1)

Используем метод разложения на простейшие дроби:

\frac{t}{(t - 1)(t^2 + t + 1)} = \frac{A}{t - 1} + \frac{Bt + C}{t^2 + t + 1}

Домножим обе части на знаменатель (t - 1)(t^2 + t + 1):

t = A(t^2 + t + 1) + (Bt + C)(t - 1)

Определение коэффициентов

Раскрываем скобки:

t = A t^2 + A t + A + Bt^2 - Bt + Ct - C

Группируем по степеням t:

t = (A + B)t^2 + (A - B + C)t + (A - C)

Приравниваем коэффициенты:

1. Для t^2: A + B = 0
2. Для t: A - B + C = 1
3. Для свободного члена: A - C = 0

Решаем систему:

• Из третьего уравнения: C = A

• Подставляем в второе: A - B + A = 1 \Rightarrow 2A - B = 1

• Из первого: B = -A

• Подставляем в 2A - B = 1:

  2A + A = 1 \Rightarrow 3A = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{3}

• Тогда B = -\frac{1}{3} и C = \frac{1}{3}

Интегрирование

Разделяем интеграл:

I = \int \frac{1/3}{t - 1} dt + \int \frac{(-1/3)t + (1/3)}{t^2 + t + 1} dt

Первый интеграл:

\frac{1}{3} \int \frac{dt}{t - 1} = \frac{1}{3} \ln |t - 1|

Второй интеграл:
Разделяем:

\int \frac{-\frac{1}{3}t + \frac{1}{3}}{t^2 + t + 1} dt

Представим числитель как - \frac{1}{3} (t + \frac{1}{2}) + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}:

I_2 = -\frac{1}{3} \int \frac{(t + \frac{1}{2})}{t^2 + t + 1} dt + \int \frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}}{t^2 + t + 1} dt

Первый интеграл решается заменой u = t^2 + t + 1, второй – стандартный интеграл с квадратным корнем.

В результате окончательный ответ:

I = \frac{1}{3} \ln |t - 1| - \frac{1}{6} \ln (t^2 + t + 1) + \frac{\sqrt{3}}{3} \arctan \left( \frac{2t + 1}{\sqrt{3}} \right) + C