Рассчитать площадь фигуры, ограниченной графиками функций на интервале

Предмет: Математика

Раздел: Интегральное исчисление

Нам нужно рассчитать площадь фигуры, ограниченной графиками функций f(x) = x + 5 и g(x) = x^2 - 1 на интервале [-2; 3]. Для этого необходимо:

1. Найти точки пересечения графиков функций f(x) и g(x).
2. Разбить интервал на участки, где одна из функций лежит выше другой.
3. Для каждого участка рассчитать площадь, используя определенный интеграл, и затем сложить их.

Шаг 1. Найдем точки пересечения функций

Функции пересекаются там, где f(x) = g(x), то есть:

x + 5 = x^2 - 1.

Перепишем уравнение:

x^2 - x - 6 = 0.

Решим это квадратное уравнение:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, где a = 1, b = -1, c = -6.

Подставим значения:

x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)}
x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}
x = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2}
x = \frac{1 \pm 5}{2}.

Получаем два корня:

x_1 = \frac{1 - 5}{2} = -2,
x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3.

Таким образом, функции пересекаются в точках x = -2 и x = 3.

Шаг 2. Определим, какая функция выше

На интервале [-2; 3] определим, какая из функций f(x) и g(x) лежит выше. Для этого подставим любое значение x из интервала (например, x = 0):

• f(0) = 0 + 5 = 5,
• g(0) = 0^2 - 1 = -1.

Так как f(0) > g(0), то на всем интервале [-2; 3] функция f(x) лежит выше функции g(x).

Шаг 3. Вычислим площадь

Площадь между графиками функций на интервале [a; b] вычисляется по формуле:

\text{Площадь} = \int_a^b \left(f(x) - g(x)\right) dx.

Подставим наши функции и пределы интегрирования:

\text{Площадь} = \int_{-2}^3 \left((x + 5) - (x^2 - 1)\right) dx.

Упростим подынтегральное выражение:

(x + 5) - (x^2 - 1) = -x^2 + x + 6.

Теперь площадь равна:

\text{Площадь} = \int_{-2}^3 \left(-x^2 + x + 6\right) dx.

Шаг 4. Вычислим интеграл

Рассчитаем интеграл:

\int \left(-x^2 + x + 6\right) dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 6x + C.

Подставим пределы интегрирования [-2; 3]:

\text{Площадь} = \left[-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 6x\right]_{-2}^3.

Сначала подставим x = 3:

-\frac{3^3}{3} + \frac{3^2}{2} + 6 \cdot 3 = -\frac{27}{3} + \frac{9}{2} + 18,
-9 + 4.5 + 18 = 13.5.

Теперь подставим x = -2:

-\frac{(-2)^3}{3} + \frac{(-2)^2}{2} + 6 \cdot (-2) = -\frac{-8}{3} + \frac{4}{2} - 12,
\frac{8}{3} + 2 - 12 = \frac{8}{3} - 10 = -\frac{22}{3}.

Теперь найдем разность:

\text{Площадь} = 13.5 - \left(-\frac{22}{3}\right) = 13.5 + \frac{22}{3}.

Приведем к общему знаменателю:

13.5 = \frac{27}{2}, \quad \frac{27}{2} + \frac{22}{3} = \frac{81}{6} + \frac{44}{6} = \frac{125}{6}.

Ответ:

Площадь фигуры равна \frac{125}{6} или примерно 20.83 (единиц площади).