Расчет с заменой переменных

Задание, представленное на картинке, относится к предмету математика, конкретно к интегральному исчислению и замене переменных в кратных интегралах.

Условие задачи:

Нам дан кратный интеграл: \[ \int_0^1 \int_x^{2x} dy \, dx \] и замена переменных: \[ x = u(1 - v), \quad y = u \cdot v \] Необходимо выполнить замену переменных и вычислить интеграл.

Шаг 1: Определение якобиана преобразования

Для начала мы находим Якобиан преобразования (детерминант матрицы Якоби), который используется при переходе к новым переменным. Рассчитаем частные производные для новой системы координат \( u \) и \( v \). Зададим:

\[ x = u(1 - v) \]
\[ y = u \cdot v \]
Частные производные:
\[ \frac{\partial x}{\partial u} = 1 - v, \quad \frac{\partial x}{\partial v} = -u \]
\[ \frac{\partial y}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial y}{\partial v} = u \]

Матрица Якоби будет следующей:
\[ J = \begin{vmatrix} 1 - v & -u \\ v & u \end{vmatrix} \]
Вычислим детерминант матрицы Якоби:
\[ \text{det}(J) = (1 - v) \cdot u - (-u) \cdot v = u(1 - v) + u \cdot v = u \]
Итак, якобиан равен \( u \).

Шаг 2: Область интегрирования

Теперь определим новую область интегрирования. Для этого разберём границы интегралов в старых переменных \( x \) и \( y \). В старой системе:

\[ 0 \leq x \leq 1 \quad \text{и} \quad x \leq y \leq 2x \]
При замене переменных:
\[ x = u(1 - v), \quad y = u \cdot v \]
Исследуем новые границы:
- Когда \( x = 0 \), \( u(1 - v) = 0 \), то \( u = 0 \).
- Когда \( x = 1 \), \( u(1 - v) = 1 \), то \( u = 1 \), \( v = 0 \).
Для переменной \( y \):
- \( y = u \cdot v \), что даёт границы для \( v \) в зависимости от \( u \).
Таким образом, интегрирование будет происходить по следующей области:
\[ 0 \leq u \leq 1, \quad 0 \leq v \leq 1 \]

Шаг 3: Замена в интеграле

Теперь перепишем интеграл с учётом новой системы координат и Якобиана. Также учтём, что вместо \( dx \, dy \) мы вводим \( du \, dv \) с Якобианом \( u \). Итак, имеем:
\[ \int_0^1 \int_0^1 u \, dv \, du \]

Шаг 4: Вычисление интеграла

Произведём вычисление:
\[ \int_0^1 \int_0^1 u \, dv \, du = \int_0^1 \left( \int_0^1 u \, dv \right) du \]
Внутренний интеграл по переменной \( v \):
\[ \int_0^1 u \, dv = u \cdot 1 = u \]
Теперь интегрируем по \( u \):
\[ \int_0^1 u \, du = \frac{u^2}{2} \bigg|_0^1 = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2} \]

Итог:

Ответ: \(\frac{1}{2}\).