Проверить выполнение условия независимости пути и вычислить сам интеграл

Предмет задания: Математика (Высшая математика)

Раздел: Криволинейные интегралы (теория векторных полей)

Задача 3(а):

Дано: криволинейный интеграл \[ \int_C x^3 dy + 3x^2y dx \] с путём интегрирования от точки \( (0,0) \) до точки \( (1,2) \). Нужно проверить выполнение условия независимости пути и вычислить сам интеграл.

Шаг 1: Проверка независимости пути

Для того чтобы интеграл был независим от пути, необходимо, чтобы векторное поле \( P(x, y) = 3x^2y \) и \( Q(x, y) = x^3 \), задающее компоненты подинтегрального выражения, удовлетворяло условию независимости пути, которое записывается как: \[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} \]

Проверим:

1. Находим частную производную \( P(x, y) = 3x^2y \) по \( y \): \[ \frac{\partial P}{\partial y} = 3x^2 \]
2. Теперь находим частную производную \( Q(x, y) = x^3 \) по \( x \): \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = 3x^2 \]

Обе производных равны \( 3x^2 \). Следовательно, условие независимости пути выполнено. Это означает, что данный криволинейный интеграл действительно независим от пути.

Шаг 2: Вычисление интеграла

Поскольку интеграл независим от пути, его можно вычислить как значение потенциальной функции в конечной и начальной точках. Для этого найдём потенциальную функцию \( \Phi(x, y) \), такую что \( \frac{\partial \Phi}{\partial x} = P(x, y) \) и \( \frac{\partial \Phi}{\partial y} = Q(x, y) \).

1. Интегрируем \( P(x, y) = 3x^2y \) по \( x \): \[ \Phi(x, y) = x^3y + C(y) \]
Здесь \( C(y) \) — произвольная функция от \( y \), так как при интегрировании по \( x \) может появляться добавочная функция только от \( y \).

2. Теперь найдём \( C(y) \), используя уравнение \( \frac{\partial \Phi}{\partial y} = Q(x, y) = x^3 \): \[ \frac{\partial}{\partial y} (x^3y + C(y)) = x^3 \]
Отсюда следует, что производная \( C(y) \) по \( y \) равна нулю, то есть \( C(y) \) — константа. Для упрощения принимаем \( C(y) = 0 \).

Итак, потенциальная функция имеет вид: \[ \Phi(x, y) = x^3y \]

Шаг 3: Находим значение интеграла

Теперь можно вычислить криволинейный интеграл, как разность значений потенциальной функции в конечной и начальной точках: \[ \int_C (x^3 dy + 3x^2y dx) = \Phi(1, 2) - \Phi(0, 0) \]

Подставляем значения:

\[ \Phi(1, 2) = 1^3 \cdot 2 = 2 \]
\[ \Phi(0, 0) = 0^3 \cdot 0 = 0 \]

Следовательно:

Ответ: Криволинейный интеграл равен \( 2 \).