Проверить выполнение условия независимости криволинейного интеграла

Предмет: Высшая математика

Раздел: Математический анализ, теория криволинейных интегралов

Задание: Рассмотрим работу с третьим упражнением, пунктом (3) а), который требуется проверить выполнение условия независимости криволинейного интеграла: \[ I = \int\limits_{(1,0)}^{(2,1)} \left( 2xy^2dx + 2x^2ydy \right) \]

Шаг 1: Вспомним критерий независимости интеграла от пути

Чтобы криволинейный интеграл был независим от пути в области, достаточно, чтобы выполнялось условие равенства смешанных производных, то есть: \[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} \]

Где \( P(x, y) = 2xy^2 \) и \( Q(x, y) = 2x^2y \).

Шаг 2: Найдём частные производные

1. Вычислим частную производную \( \frac{\partial P}{\partial y} \):
   \[ P(x, y) = 2xy^2 \]
   \[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} 2xy^2 = 2x \cdot 2y = 4xy \]
2. Аналогично, найдём частную производную \( \frac{\partial Q}{\partial x} \):
   \[ Q(x, y) = 2x^2y \]
   \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} 2x^2y = 4xy \]

Шаг 3: Сравним частные производные

\[ \frac{\partial P}{\partial y} = 4xy, \quad \frac{\partial Q}{\partial x} = 4xy \]

Так как \( \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} \), это условие выполняется. Следовательно, криволинейный интеграл не зависит от пути.

Шаг 4: Вычислим интеграл

Поскольку интеграл не зависит от пути, его можно вычислить как значение функции потенциала в конечных точках. Найдём функцию потенциала \( u(x, y) \), такую что:

\[ \frac{\partial u}{\partial x} = P(x, y) = 2xy^2 \quad \text{и} \quad \frac{\partial u}{\partial y} = Q(x, y) = 2x^2y \]

Проинтегрируем \( P(x, y) \) по \( x \) для нахождения \( u(x, y) \):

\[ u(x, y) = \int 2xy^2dx = x^2y^2 + \varphi(y) \]

Где \( \varphi(y) \) — произвольная функция, зависящая только от \( y \).

Теперь найдём \( \varphi(y) \), проинтегрировав \( Q(x, y) \) по \( y \):

\[ \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (x^2y^2 + \varphi(y)) = 2x^2y + \varphi'(y) \]

Сравниваем с выражением для \( Q(x, y) \):

\[ 2x^2y + \varphi'(y) = 2x^2y \]

Отсюда: \[ \varphi'(y) = 0 \quad \Rightarrow \quad \varphi(y) = \text{const} \]

Таким образом, функция потенциала имеет вид: \[ u(x, y) = x^2y^2 + C \]

Шаг 5: Подсчитаем значение интеграла

Теперь вычислим разность значений функции \( u(x, y) \) в конечных точках \( (2, 1) \) и \( (1, 0) \):

\[ u(2, 1) = 2^2 \cdot 1^2 + C = 4 + C \]

\[ u(1, 0) = 1^2 \cdot 0^2 + C = C \]

Следовательно, значение интеграла: \[ I = u(2, 1) - u(1, 0) = (4 + C) - C = 4 \]

Итог

Значение криволинейного интеграла равно \( I = 4 \).