Проверить выполнение условия независимости криволинейного интеграла

Предмет: Высшая математика

Раздел: Математический анализ, теория криволинейных интегралов

Задание: Рассмотрим работу с третьим упражнением, пунктом (3) а), который требуется проверить выполнение условия независимости криволинейного интеграла: $\text{[}I=\underset{(1,0)}{\overset{(2,1)}{\int }}(2x{y}^{2}dx+2x^{2}ydy)\text{]}$

Шаг 1: Вспомним критерий независимости интеграла от пути

Чтобы криволинейный интеграл был независим от пути в области, достаточно, чтобы выполнялось условие равенства смешанных производных, то есть: $\text{[}\frac{\mathrm{\partial }P}{\mathrm{\partial }y}=\frac{\mathrm{\partial }Q}{\mathrm{\partial }x}\text{]}$

Где $\text{(}P(x,y)=2x{y}^2\text{)}$ и $\text{(}Q(x,y)=2x^{2}y\text{)}$.

Шаг 2: Найдём частные производные

1. Вычислим частную производную $\text{(}\frac{\mathrm{\partial }P}{\mathrm{\partial }y}\text{)}$:
   $\text{[}P(x,y)=2x{y}^2\text{]}$
   $\text{[}\frac{\mathrm{\partial }P}{\mathrm{\partial }y}=\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }y}2x{y}^2=2x\cdot 2y=4xy\text{]}$
2. Аналогично, найдём частную производную $\text{(}\frac{\mathrm{\partial }Q}{\mathrm{\partial }x}\text{)}$:
   $\text{[}Q(x,y)=2x^{2}y\text{]}$
   $\text{[}\frac{\mathrm{\partial }Q}{\mathrm{\partial }x}=\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}2x^{2}y=4xy\text{]}$

Шаг 3: Сравним частные производные

$\text{[}\frac{\mathrm{\partial }P}{\mathrm{\partial }y}=4xy,\frac{\mathrm{\partial }Q}{\mathrm{\partial }x}=4xy\text{]}$

Так как $\text{(}\frac{\mathrm{\partial }P}{\mathrm{\partial }y}=\frac{\mathrm{\partial }Q}{\mathrm{\partial }x}\text{)}$, это условие выполняется. Следовательно, криволинейный интеграл не зависит от пути.

Шаг 4: Вычислим интеграл

Поскольку интеграл не зависит от пути, его можно вычислить как значение функции потенциала в конечных точках. Найдём функцию потенциала $\text{(}u(x,y)\text{)}$, такую что:

$\text{[}\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }x}=P(x,y)=2x{y}^2\text{и}\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }y}=Q(x,y)=2x^{2}y\text{]}$

Проинтегрируем $\text{(}P(x,y)\text{)}$ по $\text{(}x\text{)}$ для нахождения $\text{(}u(x,y)\text{)}$:

$\text{[}u(x,y)=\int 2x{y}^{2}dx=x^2{y}^2+\phi (y)\text{]}$

Где $\text{(}\phi (y)\text{)}$ — произвольная функция, зависящая только от $\text{(}y\text{)}$.

Теперь найдём $\text{(}\phi (y)\text{)}$, проинтегрировав $\text{(}Q(x,y)\text{)}$ по $\text{(}y\text{)}$:

$\text{[}\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }y}=\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }y}(x^2{y}^2+\phi (y))=2x^{2}y+{\phi }^{\prime }(y)\text{]}$

Сравниваем с выражением для $\text{(}Q(x,y)\text{)}$:

$\text{[}2x^{2}y+{\phi }^{\prime }(y)=2x^{2}y\text{]}$

Отсюда: $\text{[}{\phi }^{\prime }(y)=0\Rightarrow \phi (y)=\text{const}\text{]}$

Таким образом, функция потенциала имеет вид: $\text{[}u(x,y)=x^2{y}^2+C\text{]}$

Шаг 5: Подсчитаем значение интеграла

Теперь вычислим разность значений функции $\text{(}u(x,y)\text{)}$ в конечных точках $\text{(}(2,1)\text{)}$ и $\text{(}(1,0)\text{)}$:

$\text{[}u(2,1)=2^2\cdot 1^2+C=4+C\text{]}$

$\text{[}u(1,0)=1^2\cdot 0^2+C=C\text{]}$

Следовательно, значение интеграла: $\text{[}I=u(2,1)-u(1,0)=(4+C)-C=4\text{]}$

Итог

Значение криволинейного интеграла равно $\text{(}I=4\text{)}$.