Проверить выполнение условия независимости криволинейного интеграла

Предмет: Высшая математика
Раздел: Математический анализ, теория криволинейных интегралов

Задание: Рассмотрим работу с третьим упражнением, пунктом (3) а), который требуется проверить выполнение условия независимости криволинейного интеграла: \[I=(1,0)(2,1)(2xy2dx+2x2ydy)\]

Шаг 1: Вспомним критерий независимости интеграла от пути

Чтобы криволинейный интеграл был независим от пути в области, достаточно, чтобы выполнялось условие равенства смешанных производных, то есть: \[Py=Qx\]

Где \(P(x,y)=2xy2\) и \(Q(x,y)=2x2y\).

Шаг 2: Найдём частные производные
  1. Вычислим частную производную \(Py\):
    \[P(x,y)=2xy2\]
    \[Py=y2xy2=2x2y=4xy\]
  2. Аналогично, найдём частную производную \(Qx\):
    \[Q(x,y)=2x2y\]
    \[Qx=x2x2y=4xy\]
Шаг 3: Сравним частные производные

\[Py=4xy,Qx=4xy\]

Так как \(Py=Qx\), это условие выполняется. Следовательно, криволинейный интеграл не зависит от пути.

Шаг 4: Вычислим интеграл

Поскольку интеграл не зависит от пути, его можно вычислить как значение функции потенциала в конечных точках. Найдём функцию потенциала \(u(x,y)\), такую что:

\[ux=P(x,y)=2xy2иuy=Q(x,y)=2x2y\]

Проинтегрируем \(P(x,y)\) по \(x\) для нахождения \(u(x,y)\):

\[u(x,y)=2xy2dx=x2y2+φ(y)\]

Где \(φ(y)\) — произвольная функция, зависящая только от \(y\).

Теперь найдём \(φ(y)\), проинтегрировав \(Q(x,y)\) по \(y\):

\[uy=y(x2y2+φ(y))=2x2y+φ(y)\]

Сравниваем с выражением для \(Q(x,y)\):

\[2x2y+φ(y)=2x2y\]

Отсюда: \[φ(y)=0φ(y)=const\]

Таким образом, функция потенциала имеет вид: \[u(x,y)=x2y2+C\]

Шаг 5: Подсчитаем значение интеграла

Теперь вычислим разность значений функции \(u(x,y)\) в конечных точках \((2,1)\) и \((1,0)\):

\[u(2,1)=2212+C=4+C\]

\[u(1,0)=1202+C=C\]

Следовательно, значение интеграла: \[I=u(2,1)u(1,0)=(4+C)C=4\]

Итог

Значение криволинейного интеграла равно \(I=4\).

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Узнайте стоимость работы онлайн

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн
Напишем БЕСПЛАТНО любую работу за 30 минут