Проверить выполнение условий независимости от пути интегрирования и вычислить его

Задание на изображении относится к разделу математического анализа, а конкретнее к теме кратных, криволинейных и поверхностных интегралов, а также формулы Грина. Эти темы изучаются в курсе высшей математики, особенно для студентов технических специальностей.

Рассмотрим задание 3(а):

3(а). Проверить выполнение условий независимости от пути интегрирования и вычислить его.

Нам нужно рассмотреть независимость пути для криволинейного интеграла, что подразумевает проверку на потенциальность поля, задаваемого вектор-функцией, и исходя из этого, вычислить интеграл.

Алгоритм решения данной задачи:

1. Проверка потенциальности поля (независимости от пути):
   Мы должны проверить, является ли поле потенциальным. Для поля \( \mathbf{F}(x,y) = (P(x,y), Q(x,y)) \), это условие означает: \[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} \]
   Если это равенство выполняется, то поле потенциально и интеграл не зависит от пути.

Посмотрим на функцию \(\mathbf{F}(x,y)\). Из условия задачи её компоненты \(P(x,y)\) и \(Q(x,y)\) берутся из выражения для интеграла:

\[ \int P(x, y) \, dx + Q(x, y) \, dy \]

И из условия видно, что компоненты:

\[ P(x, y) = x - 2y, \quad Q(x, y) = x + y \]

2. Вычислим частные производные:
   Теперь проверим условие потенциальности:

   \[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x - 2y) = -2 \]

   \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x + y) = 1 \]

   Поскольку частные производные не равны, \( \frac{\partial P}{\partial y} \neq \frac{\partial Q}{\partial x} \), то поле не является потенциальным, и интеграл зависит от пути.

Ответ:

Поле не потенциально, следовательно, оно зависит от пути интегрирования.