Применяя различные приемы, вычислить интегралы от тригонометрических функций

Предмет: Математика

Раздел: Интегралы

Нам нужно вычислить интеграл: \[ \int (\sin^4 x + \cos^4 x) \, dx. \]

Разберёмся по шагам:

Шаг 1. Упрощение выражения \(\sin^4 x + \cos^4 x\)

Для этого воспользуемся формулой суммы четвёртых степеней: \[ a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 - 2a^2b^2, \] где \(a = \sin^2 x\) и \(b = \cos^2 x\). Подставляя, получим: \[ \sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x. \]

Шаг 2. Упрощение \((\sin^2 x + \cos^2 x)^2\)

Согласно основному тригонометрическому тождеству: \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1. \] Тогда: \[ (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 = 1^2 = 1. \]

Шаг 3. Замена \(\sin^2 x \cos^2 x\)

Для удобства используем тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{4} \sin^2(2x). \] Итак, наше выражение становится: \[ \sin^4 x + \cos^4 x = 1 - 2\left(\frac{1}{4} \sin^2(2x)\right). \] Сокращаем: \[ \sin^4 x + \cos^4 x = 1 - \frac{1}{2} \sin^2(2x). \] Теперь подставим это выражение под знак интеграла.

Шаг 4. Новый вид интеграла

\[ \int (\sin^4 x + \cos^4 x) \, dx = \int \left(1 - \frac{1}{2} \sin^2(2x)\right) \, dx. \]

Интеграл разобьём на две части: \[ \int \left(1 - \frac{1}{2} \sin^2(2x)\right) \, dx = \int 1 \, dx - \frac{1}{2} \int \sin^2(2x) \, dx. \]

Шаг 5. Вычисление \(\int 1 \, dx\)

Интеграл от константы равен просто \(x\): \[ \int 1 \, dx = x. \]

Шаг 6. Вычисление \(\int \sin^2(2x) \, dx\)

Чтобы вычислить \(\int \sin^2(2x) \, dx\), используем формулу приведения к косинусу двойного угла: \[ \sin^2(2x) = \frac{1 - \cos(4x)}{2}. \] Подставляем: \[ \int \sin^2(2x) \, dx = \int \frac{1 - \cos(4x)}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int 1 \, dx - \frac{1}{2} \int \cos(4x) \, dx. \]

Находим частные интегралы:

1. \(\int 1 \, dx = x\),
2. \(\int \cos(4x) \, dx = \frac{\sin(4x)}{4}\).

Подставляем: \[ \int \sin^2(2x) \, dx = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin(4x)}{4} = \frac{1}{2} x - \frac{\sin(4x)}{8}. \]

Шаг 7. Полный ответ

Теперь вернём всё в исходный интеграл: \[ \int (\sin^4 x + \cos^4 x) \, dx = x - \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} x - \frac{\sin(4x)}{8}\right). \]

Раскроем скобки: \[ \int (\sin^4 x + \cos^4 x) \, dx = x - \frac{1}{4} x + \frac{1}{16} \sin(4x). \]

Приведём подобные члены: \[ \int (\sin^4 x + \cos^4 x) \, dx = \frac{3}{4} x + \frac{1}{16} \sin(4x) + C, \] где \(C\) — произвольная константа интегрирования.

Ответ:

\[ \int (\sin^4 x + \cos^4 x) \, dx = \frac{3}{4} x + \frac{1}{16} \sin(4x) + C. \]