Применить несколько методов вычисления интегралов

Предмет: Математика

Раздел предмета: Математический анализ (вычисление определенных интегралов).

Представленные задачи предлагают применить несколько методов вычисления интегралов:

1. Метод подведения под знак дифференциала.
2. Замена переменной.
3. Интегрирование по частям.

Решение первого примера из задачи № 1 по методу замены переменной:

Рассмотрим интеграл под пунктом №1 (а): \[ \int_{0}^{\sqrt{\pi/2}} x \cos(x^2) \, dx. \]

Шаг 1: Выбираем замену переменной.

Пусть: \[ t = x^2 \quad \text{(тогда $dt = 2x \, dx$, или $x \, dx = \frac{1}{2} \, dt$)}. \]

При замене пределов интегрирования:

• Когда \(x = 0\), то \(t = 0^2 = 0\).
• Когда \(x = \sqrt{\pi/2}\), то \(t = (\sqrt{\pi/2})^2 = \pi/2\).

Шаг 2: Переписываем интеграл в терминах новой переменной.

Подстановка дает: \[ \int_{0}^{\sqrt{\pi/2}} x \cos(x^2) \, dx = \int_{0}^{\pi/2} \cos(t) \cdot \frac{1}{2} \, dt = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/2} \cos(t) \, dt. \]

Шаг 3: Интегрируем.

Известный интеграл: \[ \int \cos(t) \, dt = \sin(t). \]

Применяем пределы интегрирования: \[ \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/2} \cos(t) \, dt = \frac{1}{2} [\sin(t)]_{0}^{\pi/2}. \]

Подставляем пределы: \[ \frac{1}{2} (\sin(\pi/2) - \sin(0)) = \frac{1}{2} (1 - 0) = \frac{1}{2}. \]

Ответ:

\[ \int_{0}^{\sqrt{\pi/2}} x \cos(x^2) \, dx = \frac{1}{2}. \]

Могу решить другие интегралы с использованием других методов! Укажите пример или раздел.