Предмет: Математика
Раздел: Приближение функций, интерполяция и численные методы.
Пояснение задачи:
Необходимо построить полином Ньютона максимальной степени для вычисления суммы
\(S_n = \sum_{i=1}^{n} i^3\), то есть суммы кубов первых
\(n\) чисел. Для решения задачи используем метод полиномиальной интерполяции Ньютона.
Идея состоит в том, чтобы аппроксимировать известные значения функции суммирования кубов с помощью полинома.
Полином составляется по формулам конечных разностей.
Решение:
Выразим полином Ньютона для приближения суммы кубов. Мы видим несколько предложенных вариантов, где коэффициенты
при степенях \(n\) и разностях \(n-1\),
\(n-2\) и т.д. различаются.
-
Оценивая значения коэффициентов:
- В каждом из вариантов прибавляются члены с коэффициентами, которые вычисляются из разностей более высоких порядков.
- Полином подбирается так, чтобы удачно аппроксимировать значение суммы кубов
\(\sum_{i=1}^{n} i^3\). При этом каждый член полинома (например,
\((n-1)(n-2)\)) увеличивает степень и точность приближения.
-
Корректные шаги интерполяции:
- Сначала, коэффициент первого члена — это начальное значение последовательности (для
\(n = 1\)).
- Далее вычисляются конечные разности для большей точности полинома.
Сравнение вариантов:
- В первом и третьем вариантах два коэффициента совпадают, за исключением последнего (наивысший член — при произведении всех
\(n-1\), \(n-2\), ..., \(n-4\)).
- Во втором варианте второй коэффициент отличается
(8 вместо 9.5), что делает его маловероятным для правильного решения.
Ответ: