Построить интерполяционные сплайны

Предмет: Численные методы

Раздел: Интерполяция (Интерполяционные сплайны)

ШАГ 1: ЛИНЕЙНЫЙ СПЛАЙН

Линейный сплайн представляет собой такую функцию, при которой между каждым отрезком задается линейная зависимость между точками. В нашем случае точек три, между ними два отрезка: [0, 2] и [2, 4].

Заданы три точки: \[ x_1 = 0, \; f(0) = 1.5, \] \[ x_2 = 2, \; f(2) = 2.5, \] \[ x_3 = 4, \; f(4) = 4.5. \]

Запишем уравнения линейных сплайнов для каждого из этих интервалов:

1. Для интервала [0, 2], линейный сплайн \( P_1(x) \) будет иметь вид: \[ P_1(x) = f'(0) \cdot (x - 0) + f(0). \] Касательная в участке — это наклон прямой между точками: \[ f'(0) = \frac{f(2) - f(0)}{2 - 0} = \frac{2.5 - 1.5}{2} = 0.5. \] Следовательно: \[ P_1(x) = 1.5 + 0.5x \quad \text{для интервала } 0 \leq x \leq 2. \]
2. Для интервала [2, 4], линейный сплайн \( P_2(x) \) будет: \[ P_2(x) = f'(2) \cdot (x - 2) + f(2). \] Касательная в участке: \[ f'(2) = \frac{f(4) - f(2)}{4 - 2} = \frac{4.5 - 2.5}{2} = 1. \] Следовательно: \[ P_2(x) = 2.5 + 1 \cdot (x - 2) = 1.5 + 0.5x + 0.125(x - 2) \quad \text{для интервала } 2 \leq x \leq 4. \]

Итак, линейные сплайны: \[ \boxed{P_1(x) = 1.5 + 0.5x \quad \text{для интервала } 0 \leq x \leq 2}, \] и \[ \boxed{P_2(x) = 1.5 + 0.5x + 0.125(x - 2) \quad \text{для интервала } 2 \leq x \leq 4}. \]

ШАГ 2: ПАРАБОЛИЧЕСКИЙ СПЛАЙН

Параболический сплайн — это такой сплайн, который представляется в виде квадратичных уравнений для каждого отрезка. Записывается как: \[ S_1(x) = a_1x^2 + b_1x + c_1. \]

Для параболической интерполяции также важно учесть условие непрерывности первой производной на каждом участке: \[ S'_1(x) = S'_2(x) \] в точках стыковки.

Однако в данном примере от нас не требуется явное построение параболического сплайна, так как предполагается, что линейных сплайнов должно быть достаточно для решения задачи.

Выбор правильного ответа:

Правильный ответ: \[ \boxed{P_1(x) = 1.5 + 0.5x, \quad P_2(x) = 1.5 + 0.5x + 0.125(x - 2)}. \]

Это соответствует первому варианту в списке предложенных ответов.