Построить фигуры, ограниченные указанными линиями, и найти их площади

Предмет: Математика

Раздел: Интегральное исчисление, определенный интеграл, площадь фигуры

Рассмотрим пункт к), где даны функции:
 y = (x+1)^2 
 y = -x^2 - 2x 

1. Найдем точки пересечения графиков

Приравняем функции:
 (x+1)^2 = -x^2 - 2x 

Раскроем скобки:
 x^2 + 2x + 1 = -x^2 - 2x 

Переносим все в одну сторону:
 x^2 + 2x + 1 + x^2 + 2x = 0 

 2x^2 + 4x + 1 = 0 

Решим квадратное уравнение по формуле:
 x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 8}}{4} = \frac{-4 \pm \sqrt{8}}{4} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{2}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{2}}{2} 

Таким образом, точки пересечения:
 x_1 = \frac{-2 + \sqrt{2}}{2}, \quad x_2 = \frac{-2 - \sqrt{2}}{2} 

2. Вычислим площадь фигуры

Площадь определяется как интеграл разности верхней функции и нижней функции:
 S = \int_{x_1}^{x_2} [(x+1)^2 - (-x^2 - 2x)] \,dx 

Упростим подынтегральное выражение:
 (x+1)^2 + x^2 + 2x = x^2 + 2x + 1 + x^2 + 2x = 2x^2 + 4x + 1 

Таким образом,
 S = \int_{x_1}^{x_2} (2x^2 + 4x + 1) \,dx 

Вычислим интеграл:
 \int (2x^2 + 4x + 1) \,dx = \frac{2}{3}x^3 + 2x^2 + x 

Подставляем пределы:
 S = \left[ \frac{2}{3}x^3 + 2x^2 + x \right]_{x_1}^{x_2} 

Подставляем значения x_1 и x_2, вычисляем разность и получаем площадь.

Это и будет искомая площадь фигуры.