Поменять порядок интегрирования

Пример 1:

Поменять порядок интегрирования:

Решение от преподавателя:

Решение:

1)

Область интегрирования D1 для первого повторного интеграла ограничена снизу и сверху прямыми у=0 и у=1, слева – прямой х=0, справа – параболой x=y2. Область интегрирования D2 для второго повторного интеграла ограничена снизу и сверху прямыми у=1 и у=2, слева и  справа – прямыми х=0 и х=2-у.

Область интегрирования D1+D2  ограничена слева и справа – прямыми х=0 и х=1, снизу – параболой и сверху - прямой у=2- х, поэтому

Пример 2:

Применяя различный порядок интегрирования, представить двойной интеграл в виде двукратного или суммы двукратных интегралов. Вычислить данный интеграл наиболее рациональным способом:

Решение от преподавателя:

Построим область (S) и уточним неравенства, ее определяющие

Получим два способа представления двойного интеграла с помощью двукратных

Вычислим двойной интеграл, рассмотрев первый вариант его представления как более рациональный: