По формуле центральных прямоугольников вычислить интеграл

Предмет: Математика
Раздел: Численное интегрирование

Задача:

По формуле центральных прямоугольников вычислить интеграл:

\int_{0}^{2} \frac{dx}{4 + x^2},

приняв n = 12 и n = 6.

В ответ ввести значение интеграла с тремя значащими цифрами при n = 12, затем через точку с запятой значение погрешности в виде x \cdot 10^{-5}, где x также с тремя значащими цифрами.

Решение:

Формула центральных прямоугольников:

Формула центральных прямоугольников для численного интегрирования выглядит следующим образом:

I \approx h \cdot \sum_{i=1}^{n} f\left(x_i^*\right),

где:

• h = \frac{b - a}{n} — шаг сетки,
• x_i^* = a + \left(i - \frac{1}{2}\right)h — середина i-го отрезка.

Дано:

• a = 0, b = 2,
• f(x) = \frac{1}{4 + x^2},
• n = 12 и n = 6.

Решение для n = 12:

1. Шаг сетки: h = \frac{2 - 0}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \approx 0.1667.

2. Координаты середины отрезков: x_i^* = 0 + \left(i - \frac{1}{2}\right) \cdot h, \, i = 1, 2, \dots, 12.
   Подставляем h = 0.1667 и вычисляем x_i^* для каждого i.

3. Значения функции: Вычисляем f(x_i^*) = \frac{1}{4 + (x_i^*)^2} для каждого x_i^*.

4. Приближённое значение интеграла: I \approx h \cdot \sum_{i=1}^{12} f(x_i^*).

Решение для n = 6:

Аналогично предыдущему, но с n = 6 и h = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0.3333.

Погрешность:

Погрешность численного интегрирования оценивается как разность между значениями интегралов при n = 12 и n = 6.

\text{Погрешность} = |I_{n=12} - I_{n=6}|.

Итог:

После выполнения вычислений (вручную или с помощью программы) вводим результат в формате:

\text{значение при } n=12; \text{погрешность в виде } x \cdot 10^{-5}.