Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями

В данном задании необходимо определить объём тела, ограниченного заданными поверхностями.

Это задача из раздела "Интегральное исчисление" курса "Математический анализ" или "Математика". Итак, нам даны следующие поверхности:

• \( x^2 + y^2 = 8 \) — цилиндрическая поверхность (основание цилиндра радиуса \( \sqrt{8} \) или \( 2\sqrt{2} \)).
• \( x = 0 \) — плоскость \( yz \)-плоскость.
• \( y = 0 \) — плоскость \( xz \)-плоскость.
• \( z = 0 \) — плоскость \( xy \).
• \( x + y + z = 4 \) — наклонная плоскость.

Шаги, которые нужно предпринять:

1. Определить область проекции тела на плоскость \( xy \).
2. Найти пределы интегрирования.
3. Записать тройной интеграл для объёма тела.
4. Вычислить интеграл.

Шаг 1. Определение зоны проекции.

Проекция тела на плоскость \( x y \) ограничена пересечением цилиндра \( x^2 + y^2 = 8 \) с осями \( x \) и \( y \), возможная область: \[ 0 \leq x \leq 2\sqrt{2}, \quad 0 \leq y \leq \sqrt{8 - x^2}. \]

Шаг 2. Найдём пределы интегрирования.

Пределы для \( z \) из уравнения поверхности \( z \) ограничиваются поверхностями \( z = 0 \) и \( z = 4 - x - y \).

Шаг 3. Тройной интеграл для объёма.

Форма интеграла: \[ V = \iiint_T dV = \iiint_T dz\,dy\,dx. \]

Для области \( T \):\[ V = \int_{0}^{2\sqrt{2}} \int_{0}^{\sqrt{8 - x^2}} \int_{0}^{4 - x - y} dz\,dy\,dx. \]

Шаг 4. Интегрирование.

Выполним поэтапное интегрирование сначала по \( z \):\[ \int_{0}^{4 - x - y} dz = z \Bigg|_{0}^{4 - x - y} = 4 - x - y. \]

Теперь по \( y \):\[ \int_{0}^{\sqrt{8 - x^2}} (4 - x - y) dy. \]

Разделим интеграл на два компонента:\[ 4 \int_{0}^{\sqrt{8 - x^2}} dy - x \int_{0}^{\sqrt{8 - x^2}} dy - \int_{0}^{\sqrt{8 - x^2}} y \, dy. \]

Результаты интегрирования:\[ 4 \int_{0}^{\sqrt{8 - x^2}} 1 \, dy = 4 (\sqrt{8 - x^2}), \]

\[ x \int_{0}^{\sqrt{8 - x^2}} 1 \, dy = x (\sqrt{8 - x^2}), \]

\[ \int_{0}^{\sqrt{8 - x^2}} y \, dy = \frac{y^2}{2} \Bigg|_{0}^{\sqrt{8 - x^2}} = \frac{8 - x^2}{2}. \]

Подставляем обратно и упрощаем:\[ 4 \sqrt{8 - x^2} - x \sqrt{8 - x^2} - \frac{8 - x^2}{2}. \]

Теперь интеграция по