Площадь плоских фигур, ограниченная пунктирными линиями

Определение предмета и раздела:

Задание относится к математическому анализу, разделу о множественных интегралах, в частности рассмотрено вычисление площадей фигур с помощью двойного интеграла в полярных координатах.

Задание:

Требуется найти площадь участка для примера 5.9: \((x^2 + y^2)^2 = a^2(2x^2 + 3y^2)\).

Решение:

1. Приведение уравнения к полярным координатах:

   В полярных координатах: \( x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta \)

   Тогда \(x^2 + y^2 = r^2\), и исходное уравнение становится:

   \[(r^2)^2 = a^2(2(r \cos \theta)^2 + 3(r \sin \theta)^2) \]

   Раскроем каждое слагаемое:

   \[ r^4 = a^2(2r^2 \cos^2 \theta + 3r^2 \sin^2 \theta). \]

   Можно вынести \(r^2\) за скобку:

   \[ r^4 = r^2 a^2(2 \cos^2 \theta + 3 \sin^2 \theta), \]

   при этом \(r^2\) можно сократить:

   \[ r^2 = a^2 (2 \cos^2 \theta + 3 \sin^2 \theta). \]

   Теперь у нас выражение для \(r^2\) через \(\theta\) в полярных координатах:

   \[ r^2 = a^2 (2 \cos^2 \theta + 3 \sin^2 \theta). \]

2. Определение интегральных пределов:

   \(\theta\) меняется от \(0\) до \(2\pi\) (так как полное окружение), а \(r\) определяется из уравнения (см. выведенное уравнение), то есть:

   \[ r = a \sqrt{2 \cos^2 \theta + 3 \sin^2 \theta}. \]

3. Формула для площади через двойной интеграл в полярных координатах:

   Площадь \(S\) выражается как:

   \[ S = \int_0^{2\pi} \int_0^{r(\theta)} r \, dr \, d\theta. \]

   Теперь подставим пределы для \(r\):

   \[ S = \int_0^{2\pi} \int_0^{a \sqrt{2 \cos^2 \theta + 3 \sin^2 \theta}} r \, dr \, d\theta. \]

4. Вычисление интеграла:

   Вычислим внутренний интеграл по \(r\):

   \[ \int_0^{a \sqrt{2 \cos^2 \theta + 3 \sin^2 \theta}} r \, dr = \left[\frac{r^2}{2}\right]_0^{a \sqrt{2 \cos^2 \theta + 3 \sin^2 \theta}} = \frac{a^2 (2 \cos^2 \theta + 3 \sin^2 \theta)}{2}. \]

   Теперь подставим результат во внешний интеграл по \(\theta\):

   \[ S = \int_0^{2\pi} \frac{a^2 (2 \cos^2 \theta + 3 \sin^2 \theta)}{2} d\theta. \]

5. Вычисление внешнего интеграла:

   Этот интеграл разбиваем на два:

   \[ S = \frac{a^2}{2} \left( \int_0^{2\pi} 2 \cos^2 \theta \, d\theta + \int_0^{2\pi} 3 \sin^2 \theta \, d\theta \right). \]

   При этом:

   \[ \int_0^{2\pi} \cos^2 \theta \, d\theta = \int_0^{2\pi} \sin^2 \theta \, d\theta = \pi. \]

   Подставим эти значения:

Ответ:

Площадь фигур

\[ S = \frac{a^2}{2} \left( 2\pi + 3\pi \right) = \frac{a^2}{2} \times 5\pi = \frac{5}{2} a^2 \pi. \]