Перейти в интеграле в сферическую систему координат и вычислить

Определение предмета и раздела

Этот вопрос относится к математическому анализу, а именно к разделу множественных интегралов (интегралов по области пространства). В задаче требуется переход в сферическую систему координат и вычисление интеграла.

Анализ задачи и разбиение на шаги

У нас есть тройной интеграл: \[ \int_{-1}^{0} dy \int_{-\sqrt{2 - y^2}}^{y} dx \int_{0}^{\sqrt{2 - x^2 - y^2}} x \, dz \]

Шаг 1: Изучение областей интегрирования

1. Пределы для \( y \) идут от -1 до 0: \( y \in [-1, 0]\).
2. Для каждого \( y \), пределы для \( x \) зависят от \( y \). Они идут от \( -\sqrt{2 - y^2} \) до \( y \), что описывает некоторую проекцию на плоскость \( x \)-\(y \).
3. Для \( z \), пределы зависят от значений \( x \) и \( y \). \( z \) изменяется от 0 до \( \sqrt{2 - x^2 - y^2} \).

Учитывая эти границы, можно сделать вывод, что область интегрирования — это часть шара радиуса \( \sqrt{2} \), ограниченная \( y \in [-1, 0] \).

Шаг 2: Переход к сферическим координатам

В сферических координатах \( (r, \theta, \phi) \), переменные \( x \), \( y \) и \( z \) выражаются следующим образом: \[ x = r \sin{\theta} \cos{\phi} \], \[ y = r \sin{\theta} \sin{\phi} \], \[ z = r \cos{\theta} \].

Якобиан перехода к сферическим координатам равен \( r^2 \sin{\theta} \). Теперь нам нужно преобразовать описанную область интегрирования с использованием этих переменных. Геометрически, область, где \( y \in [-1, 0] \), и остальные пределы интегрирования указывают, что мы рассматриваем часть сферы, которая лежит в области над южной полусферой (половина, где \( y \leq 0 \)).

Шаг 3: Выражение интеграла в сферических координатах

Тройной интеграл в сферических координатах примет вид: \[ \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{\sqrt{2}} (r \sin{\theta} \cos{\phi}) \cdot r^2 \sin{\theta} \, dr \, d\theta \, d\phi \]

Здесь:

• Пределы для радиальной координаты \( r \) идут от 0 до \( \sqrt{2} \) (радиус сферы).
• \( \theta \) — от 0 до \( \frac{\pi}{2} \), поскольку мы рассматриваем область выше плоскости \( z = 0 \).
• \( \phi \) — от 0 до \( \pi \), так как \( y \in [-1, 0] \) означает, что угол \( \phi \) должен охватывать полусферу (отрицательные значения координаты \( y \)).

Шаг 4: Выполнение интегрирования

Теперь вычислим по порядку.

1. Интегрирование по \( r \): \[ \int_{0}^{\sqrt{2}} r^3 \, dr = \left[ \frac{r^4}{4} \right]_{0}^{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2})^4}{4} = \frac{4}{4} = 1 \]
2. Интегрирование по \( \theta \): \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2{\theta} \, d\theta = \frac{\pi}{4} \]
3. Интегрирование по \( \phi \): \[ \int_{0}^{\pi} \cos{\phi} \, d\phi = \left[ \sin{\phi} \right]_{0}^{\pi} = \sin{\pi} - \sin{0} = 0 - 0 = 0 \]

Шаг 5: Итог

После выполнения всех шагов мы видим, что интеграл равен нулю. Это ожидаемо, поскольку функция \( x = r \sin{\theta} \cos{\phi} \) симметрична относительно плоскости \( y = 0 \), и вклад от положительных и отрицательных значений \( x \), при интегрировании по сфере, взаимно уничтожается.

Ответ:

\[ I = 0 \]