Определённый интеграл функции арккотангенс от квадрата переменной

На изображении представлена математическая задача из высшей математики, а именно из раздела интегрального исчисления.

Задание состоит в том, чтобы вычислить определённый интеграл функции арккотангенс от квадрата переменной (arcctg(x^2)) в пределах от 0 до 0,5. Для решения данного интеграла, можно воспользоваться следующими шагами:

1. Вычисление неопределенного интеграла.
2. Подстановка верхнего и нижнего пределов и вычисление их разности.

Для вычисления неопределенного интеграла от функции арккотангенс \( arcctg(x^2) \) применим метод интегрирования по частям, который выглядит следующим образом:

\[\int u dv = uv - \int v du\]

где \( u \) и \( dv \) — это части подынтегрального выражения, которые мы выберем для упрощения вычисления. Возьмём \( u = arcctg(x^2) \) и \( dv = dx \), тогда \( du = \frac{-2x}{1+(x^2)^2} dx \) и \( v = x \).

Применим формулу интегрирования по частям:

\[ \int arcctg(x^2) dx = x \cdot arcctg(x^2) - \int \left( \frac{-2x^2}{1+x^4} \right) dx \]

Дальнейшее интегрирование члена \(\int \frac{-2x^2}{1+x^4} dx \) требует более подробного анализа, который может включать в себя разложение на простейшие дроби или использование тригонометрических подстановок. Интеграция такого вида может быть довольно сложной и выходить за рамки базового интегрального исчисления.

Однако, учитывая, что у нас есть определённый интеграл, мы можем использовать численные методы для его приближенного вычисления, если аналитическое решение невозможно или слишком сложно для выполнения. Поэтому давайте воспользуемся компьютерным программным обеспечением или калькулятором для вычисления значения данного интеграла или найдём функцию, которая была бы аналитическим антипроизводной для arcctg(x^2).